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8.已知$f(x)=\frac{{p{x^2}+8}}{3x+q}$是奇函數,且$\frac{5}{2}<f(2)<3,p∈Z$,
(1)求實數p,q的值;
(2)判斷函數f(x)在(-∞,-2)上的單調性,并加以證明.

分析 (1)利用f(-x)=-f(x),求出q,利用$\frac{5}{2}<f(2)<3,p∈Z$,求出p;
(2)利用導數的方法,判斷、證明函數f(x)在(-∞,-2)上的單調性.

解答 解:(1)∵$f(x)=\frac{{p{x^2}+8}}{3x+q}$是奇函數,
∴f(-x)=-f(x),即$\frac{p{x}^{2}+8}{-3x+q}$=-$\frac{p{x}^{2}+8}{3x+q}$,∴q=0.
∵$\frac{5}{2}<f(2)<3,p∈Z$,
∴$\frac{5}{2}$<$\frac{4p+8}{6}$<3,∴p=2;
(2)函數f(x)在(-∞,-2)上單調遞增,證明如下:
f(x)=$\frac{2{x}^{2}+8}{3x}$=2x+$\frac{8}{3x}$,f′(x)=2-$\frac{8}{3{x}^{2}}$,
∵x<-2,∴f′(x)>0,
∴函數f(x)在(-∞,-2)上單調遞增.

點評 本題考查函數的奇偶性、單調性,考查導數知識的運用,屬于中檔題.

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