Question

8．[B]已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足2S_n=4a_n+（n-4）（n+1）（n∈N⁺）．
（1）計算a₁，a₂，a₃，根據計算結果，猜想a_n的表達式；
（2）設數列{b_n}滿足（a_n-n）•b_n=2n-1（n∈N⁺），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1、2、3計算即得結論；
（2）通過（1）可知b_n=（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，進而利用錯位相減法計算即得結論．

解答 解：（1）依題意，當n=1時，2a₁=4a₁-6，即a₁=3；
當n=2時，2（a₁+a₂）=4a₂-4，即a₂=6；
當n=3時，2（a₁+a₂+a₃）=4a₃-4，即a₂=11；
由此可知猜想a_n=n+2ⁿ；
（2）由（1）可知a_n=n+2ⁿ，
∵數列{b_n}滿足（a_n-n）•b_n=2n-1（n∈N⁺），
∴b_n=（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=1+4（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-2（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=1+1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-3}}$-2（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=1+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-2}}}{1-\frac{1}{2}}$-2（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．