【題目】設(shè),若存在,使得,且對任意,均有(即是一個公差為的等差數(shù)列),則稱數(shù)列是一個長度為的“弱等差數(shù)列”.
(1)判斷下列數(shù)列是否為“弱等差數(shù)列”,并說明理由.
①1,3,5,7,9,11;
②2,,,,.
(2)證明:若,則數(shù)列為“弱等差數(shù)列”.
(3)對任意給定的正整數(shù),若,是否總存在正整數(shù),使得等比數(shù)列:是一個長度為的“弱等差數(shù)列”?若存在,給出證明;若不存在,請說明理由
【答案】(1)①是,②不是,理由見解析
(2)證明見解析
(3)存在,證明見解析
【解析】
(1)①舉出符合條件的具體例子即可;②反證法推出矛盾;
(2)根據(jù)題意找出符合條件的為等差數(shù)列即可;
(3)首先,根據(jù),將公差表示出來,計算任意相鄰兩項的差值可以發(fā)現(xiàn)不大于.那么用裂項相消的方法表示出,結(jié)合相鄰兩項差值不大于可以得到,接下來,只需證明存在滿足條件的即可.用和公差表示出,并展開可以發(fā)現(xiàn)多項式的最高次項為,而已知,因此在足夠大時顯然成立.結(jié)論得證.
解:(1)數(shù)列①:1,3,5,7,9,11是“弱等差數(shù)列”
取分別為1,3,5,7,9,11,13即可;
數(shù)列②2,,,,不是“弱等差數(shù)列”
否則,若數(shù)列②為“弱等差數(shù)列”,則存在實數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,設(shè)公差為,
,
,
又
與矛盾,
所以數(shù)列②2,,,,不是“弱等差數(shù)列”;
(2)證明:設(shè),
令,取,則,
則,
,
,
就有,命題成立.
故數(shù)列為“弱等差數(shù)列”;
(3)若存在這樣的正整數(shù),使得
成立.
因為,,
則,其中待定.
從而,
又,
∴當(dāng)時,總成立.
如果取適當(dāng)?shù)?/span>,使得,又有
所以,有
,
為使得,需要,
上式左側(cè)展開為關(guān)于的多項式,最高次項為,其次數(shù)為,
故,對于任意給定正整數(shù),當(dāng)充分大時,上述不等式總成立,
即總存在滿足條件的正整數(shù),使得等比數(shù)列:是一個長度為的“弱等差數(shù)列”.
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【題目】設(shè)集合,若是的子集,把中的所有數(shù)的和稱為的“容量”(規(guī)定空集的容量為0),若的容量為奇(偶)數(shù),則稱為的奇(偶)子集,命題①:的奇子集與偶子集個數(shù)相等;命題②:當(dāng)時,的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等,則下列說法正確的是( )
A.命題①和命題②都成立B.命題①和命題②都不成立
C.命題①成立,命題②不成立D.命題①不成立,命題②成立
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【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,bsinA=cosB.
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,△ABC的面積為,求a,c.
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【題目】若數(shù)列對任意滿足,下面給出關(guān)于數(shù)列的四個命題:①可以是等差數(shù)列,②可以是等比數(shù)列;③可以既是等差又是等比數(shù)列;④可以既不是等差又不是等比數(shù)列;則上述命題中,正確的個數(shù)為( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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【題目】已知橢圓的右焦點為,過的直線與交于,兩點,點的坐標(biāo)為.當(dāng)軸時,的面積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線、的斜率分別為、,證明:.
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【題目】已知點、的坐標(biāo)分別是,,直線,相交于點,且它們的斜率之積為.
(1)求動點的軌跡方程;
(2)若過點的直線交動點的軌跡于、兩點, 且為線段,的中點,求直線的方程.
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【題目】(江淮十校2017屆高三第一次聯(lián)考文數(shù)試題第7題)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,其中《方田》章計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為:弧田面積=1/2(弦矢+矢2).弧田(如圖),由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為,半徑等于4米的弧田.按照上述方法計算出弧田的面積約為( )
A. 6平方米 B. 9平方米 C. 12平方米 D. 15平方米
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【題目】已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減,若不等式對任意恒成立,則實數(shù)的取值范是( )
A. B. C. D.
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