Question

8．濮陽(yáng)市黃河灘區(qū)某村2010年至2016年人均純收入（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下表：

年份	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016
年份代號(hào)x	1	2	3	4	5	6	7
人均純收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（Ⅰ）求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2010年至2016年該村人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該村2017年人均純收入．
附：回歸直線的斜率和截距的最小乘法估計(jì)公式分別為：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{t}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用公式求出$\hat$，$\hat{a}$，即可得出結(jié)論．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的線性回歸方程，代入x=8即可．

解答 解：（Ⅰ）由題所給的數(shù)據(jù)樣本平均數(shù)$\overline{x}$=$\frac{1}{7}（1+2+3+4+5+6+7）$=4，$\overline{y}$=$\frac{1}{7}（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）$=4.3．
∴$\sum _{i=1}^{7}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+0+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14
$\sum _{i=1}^{7}$ （x_i-$\overline{x}$）²=9+4+4+0+1+4+9=28．
∴$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{14}{28}=\frac{1}{2}$
∴$\hat{a}$=4.3-$\frac{1}{2}$×4=2.3，
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為：y=$\frac{1}{2}$x+2.3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得線性回歸方程為y=$\frac{1}{2}$x+2.3．
2017年人均純收入，即x=8，可得y=$\frac{1}{2}×8+2.3=6.3$（萬(wàn)元）．
即預(yù)測(cè)該村2017年人均純收入為6.3萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求法及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．