Question

已知f（x）=|x²-4|，g（x）=x²-ax-a²+4．
（Ⅰ）若不等式g（x）＞0的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)f（x）＞g（x）的解集為A，若（-4，4）⊆A⊆（-∞，7），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）依題意，由△=a²-4（4-a²）＜0，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），首先對(duì)x的取值范圍分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，再對(duì)a分a=0，a＞0，a＜0討論，依題意確定a的取值范圍，最后取交集即可．

解答： 解：（Ⅰ）若不等式g（x）＞0的解集為R，則△=a²-4（4-a²）＜0，解得-

4

5

5

＜a＜

4

5

5

…5分
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），
（i）-2≤x≤2時(shí)，h（x）=-2x²+ax+a²，因?yàn)椋?4，4）⊆A，所以對(duì)于?x∈[-2，2]，h（x）＞0恒成立，
故

h(-2)＞0 h(2)＞0

，可解得

a＞4或a＜-2 a＞2或a＜-4

，
所以，a＞4或a＜-4；…8分
（ii））當(dāng)x＜-2或x＞2時(shí)，h（x）=ax+a²-8，
①若a=0，h（x）=-8＞0的解集為∅，不符合題意；…10分
②若a＞0，由h（x）＞0得x＞

8-a2

a

，不可能有A⊆（-∞，7），不符合題意；…12分
③若a＜0，由h（x）＞0得x＜

8-a2

a

，根據(jù)（-4，4）⊆A⊆（-∞，7）得4＜

8-a2

a

≤7，由于a＜0，化為7a≤8-a²＜4a，解得-8≤a≤-2-2

3

…14分
綜上所述，-8≤a≤-2-2

3

…15分

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，考查抽象思維與運(yùn)算能力，屬于難題．