【題目】已知橢圓C的方程為 + =1（a＞b＞0），雙曲線 ﹣ =1的一條漸近線與x軸所成的夾角為30°，且雙曲線的焦距為4 ．

（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F1 ， F2分別為橢圓C的左，右焦點(diǎn)，過F2作直線l（與x軸不重合）交于橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，記直線F1E的斜率為k，求k的取值范圍．

【答案】
（1）解：由一條漸近線與x軸所成的夾角為30°，則 =tan30°= ，即a2=3b2，

由2c=4 ．c=2 ，則a2+b2=8，

解得：a2=8，b2=2，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ；


（2）解：由（1）可知：F2（2，0），直線AB的方程：x=ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），

，整理得：（t2+3）y2+4ty﹣2=0，

y1+y2=﹣ ，x1+x2= ，

則E（ ，﹣ ），

由F1（﹣2，0），則直線F1E的斜率k= =﹣ ，

①當(dāng)t=0時(shí)，k=0，

②當(dāng)t≠0時(shí)，丨k丨= = ≤ ，

即丨k丨∈（0， ]，

∴k的取值范圍[﹣ ， ]．


【解析】（1）利用已知條件建立a和b的方程組，解方程組，可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線AB的方程，A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組消去x，利用韋達(dá)定理可得斜率丨k丨用t表示，利用基本不等式可得k的取值范圍．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+x2 ．
（Ⅰ）求函數(shù)h（x）=f（x）﹣3x的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，且與直線相切.

(1)求圓的方程。

(2)在圓上，是否存在點(diǎn)，使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，且△的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列滿足，且.

（Ⅰ）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若記為滿足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的值.

【答案】(1)見解析;(2)最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）對(duì)兩邊取倒數(shù)，移項(xiàng)即可得出，故而數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，從而可得出；（Ⅱ）根據(jù)不等式，，得，又，從而，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)單調(diào)遞增，綜上的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為.

試題解析：（Ⅰ）由于，，則

∴，則，即為常數(shù)

又，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列

從而，即.

（Ⅱ）由即，得，

又，從而

故

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞減，；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞增，

綜上的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為.

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】已知向量， ，若函數(shù)的最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若關(guān)于的方程在有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)P是長軸長為 的橢圓Q： 上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)M為線段PA的中點(diǎn)，且直線PA與OM的斜率之積恒為 ．
（1）求橢圓Q的方程；
（2）設(shè)過左焦點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于C，D兩點(diǎn)，線段CD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍是 ，求|CD|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）．
（1）求曲線C1的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；
（2）若曲線C2的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），曲線C1上點(diǎn)P的極角為 ，Q為曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線l距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（0， ）上無零點(diǎn)，求a最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）．
（1）求曲線C1的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；
（2）若曲線C2的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），曲線C1上點(diǎn)P的極角為 ，Q為曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線l距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知 ：方程 有兩個(gè)不等的正根； ：方程 表示焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線.
（1）若 為真命題，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（2）若“ 或 ”為真，“ 且 ”為假，求實(shí)數(shù) 的取值范圍

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