Question

如圖，已知點A（11，0），函數(shù)y=

x+1

的圖象上的動點P在x軸上的射影為H，且點H在點A的左側，設|PH|=t，△APH的面積為f（t）
（1）求函數(shù)f（t）的解析式及t的取值范圍．
（2）若a∈（0，2

3

），求函數(shù)f（t）在（0，a]上的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）S_△APH=

1

2

PH×AH．其中AH=OA-OH，OH等于P的橫坐標，P的縱坐標即為|PH|=t，利用函數(shù)解析式可求OH，得出面積的表達式．
（2）對f（t）求導，得出f（t）的單調性，對a進行討論，求出最大值．

解答： 解：（1）由已知可得

x+1

=t，所以點P的橫坐標為t²-1，
因為點H在點A的左側，所以t²-1＜11，即-2

3

＜t＜2

3

．
由已知t＞0，所以0＜t＜2

3

，
所以AH=11-（t²-1）=12-t²，
所以△APH的面積為f（t）=

1

2

（12-t²）t，0＜t＜2

3

．

（2）f′（t）=6-

3

2

t2=-

3

2

（t+2）（t-2），
由f′（t）=0，得t=-2（舍），或t=2．
∵a∈（0，2

3

），而函數(shù)f（t）的定義域為（0，a]：
當0＜a≤2時，在（0，a]上f′（t）＞0，故f（t）在（0，a]單調遞增，
∴f（t）_max=f（a）=-

1

2

a³+6a，
當2＜a≤2

3

時，在（0，2]上f′（t）＞0，在（2，a]上f′（t）＜0，故f（t）在（0，2]單調遞增，在（2，a]單調遞減，
∴f（t）_max=f（2）=8
綜上，f（t）_max=

- 1 2 a3+6a，0＜a≤2 8，2＜a＜2 3

點評：本題考查了函數(shù)的綜合應用，其中有利用導數(shù)來求函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題，屬于中檔題．