Question

14．已知點A，B為橢圓的左、右頂點，點C，D為橢圓的上、下頂點，點F為橢圓的右焦點，若CF⊥BD，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}-1}{2}$

Answer 1

分析 利用CF⊥BD，可得a，b，c的關(guān)系，進而可得e的方程，即可求出橢圓的離心率．

解答 解：由已知可得：B（a，0），C（0，b），D（0，-b），F(xiàn)（c，0），
∵CF⊥BD，
∴$\overrightarrow{CF}$⊥$\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{CF}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
∴（c，-b）•（-a，-b）=0，
∴-ac+b²=0，
∴-ac+a²-c²=0，
∴e²+e-1=0，
∵0＜e＜1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．