定義在R上的函數(shù)y＝f(x)，f(0)≠0，當(dāng)x＞0時， f(x)＞1，且對任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)

(1)求證：f(0)＝1;

(2)求證：對任意的x∈R，恒有f(x)＞0;

(3)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；

(4)若f(x)·f(2x－x2)＞1，求x的取值范圍

 

答案：
解析：

(1)【證明】 設(shè)a＝b＝0，則f(0＋0)＝f(0)·f(0)，∴f2(0)＝f(0)

又f(0)≠0，則f(0)＝1

(2)【證明】 當(dāng)x＞0時  f(x)＞1＞0

當(dāng)x＜0時，－x＞0  ∴f(－x)＞1＞0

f(x)f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1

∴f(x)＝＞0．

x＝0時， f(0)＝1＞0

∴對任意x∈R，恒有f(x)＞0

(3)【證明】 設(shè)x1＜x2，f(x2)＝f(x1＋x2－x1)＝f(x1)f(x2－x1)

x2－x1＞0  ∴f(x2－x1)＞1

又f(x1)＞0，f(x2)＞0  ∴f(x2)＞f(x1)

∴f(x)在R上是增函數(shù)

(4)【解】 由f(x)·f(2x－x2)＞1得

f(－x2＋3x)＞f(0)

由(3)知－x2＋3x＞0

∴0＜x＜3．

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則f(3)，f(－4)，f(－π)的大小關(guān)系為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，且滿足f(1＋x)＝f(1－x)．當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)＝x3，則f(2 011)的值是(　　)

A．－1                             B．0 

C．1                               D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)·f(x＋2)＝12，且f(2 014)＝2，則f(0)等于                                                                                      (　　)

A．12                              B．6       C．3      D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足f(4－x)＝f(x)，(x－2)·f′(x)<0，若x1<x2且x1＋x2>4，則                                                          (　　)．

A．f(x1)<f(x2)

B．f(x1)>f(x2)

C．f(x1)＝f(x2)

D．f(x1)與f(x2)的大小不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年吉林省高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理） 題型：選擇題

已知定義在R上的函數(shù)y＝f （x） 在x＝2處的切線方程是y＝－x＋6，則的值是                                                              （    ）

       A．                     B．2                       C．3                       D．0

 

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