Question

已知函數(shù)，，其中無(wú)理數(shù)e=2.17828…．
（Ⅰ）若P=0，求證：f（x）＞1-x；
（Ⅱ）若在其定義域內(nèi)f（x）是單調(diào)函數(shù)，求P的取值范圍；
（Ⅲ）對(duì)于區(qū)間（1，2）中的任意常數(shù)P，是否存在x₀＞0，使f（x₀）≤g（x₀）成立？若存在，求出符合條件的一個(gè)x₀；否則說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：當(dāng)p=0時(shí)，f（x）=-lnx．
令m（x）=lnx-x+1，則．
若0＜x＜1，m′（x）＞0，m（x）遞增；
若x＞1，m′（x）＜0，m（x）遞減，
則x=1是m（x）的極（最）大值點(diǎn)．
于是m（x）≤m（1）=0，即lnx-x+1≤0．
故當(dāng)p=0時(shí)，有f（x）≥1-x；（4分）
（Ⅱ）解：對(duì)求導(dǎo)，
得．
①若p=0，，
則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故p=0合題意．
②若p＞0，．
則必須，
故當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
③若p＜0，h（x）的對(duì)稱(chēng)軸，
則必須h（0）≤0，f′（x）≤0，
故當(dāng)p＜0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
綜合上述，p的取值范圍是；
（Ⅲ）解：令．
則問(wèn)題等價(jià)于找一個(gè)x₀＞0使F（x）≤0成立，
故只需滿(mǎn)足函數(shù)的最小值F（x）_min≤0即可．
因，
而，
故當(dāng)時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減；
當(dāng)時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增．
于是，．
與上述要求F（x）_min≤0相矛盾，故不存在符合條件的x₀．
分析：（Ⅰ）若P=0，要證f（x）＞1-x；即可轉(zhuǎn)化為lnx-x+1＞0在定義域內(nèi)恒成立即可．在通過(guò)求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，看函數(shù)的最小值，只要函數(shù)的最小值大于0即可．
（Ⅱ）若在其定義域內(nèi)f（x）是單調(diào)函數(shù)，求P的取值范圍；先要明確定義域；在求導(dǎo)，求導(dǎo)后，只要滿(mǎn)足導(dǎo)數(shù)在某區(qū)間恒大于0或在某區(qū)間恒小于0即可．在這里要注意對(duì)參數(shù)p進(jìn)行討論．
（Ⅲ）對(duì)于區(qū)間（1，2）中的任意常數(shù)P，是否存在x₀＞0，使f（x₀）≤g（x₀）成立，這種題型屬探索性問(wèn)題；解決的關(guān)鍵在于弄懂題意．據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為：令，則問(wèn)題等價(jià)于找一個(gè)x₀＞0使F（x）≤0成立，
故只需滿(mǎn)足函數(shù)的最小值F（x）_min≤0即可．
點(diǎn)評(píng)：（1）若在其定義域內(nèi)f（x）是單調(diào)函數(shù)，求參數(shù)的取值范圍；先要明確定義域；在求導(dǎo)，求導(dǎo)后，只要滿(mǎn)足導(dǎo)數(shù)在某區(qū)間恒大于0或在某區(qū)間恒小于0即可．這是通性通法．
（2）對(duì)于區(qū)間任意給定的某區(qū)間，某代數(shù)式恒成立問(wèn)題，解決的關(guān)鍵在于弄懂題意．據(jù)題意一般可可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，求滿(mǎn)足函數(shù)的最小值或者函數(shù)的最大值即可．