Question

（理）若P，Q為y=1-x²上在y軸兩側(cè)的點(diǎn)，則過P，Q點(diǎn)的切線與x軸圍成的三角形的面積的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：由P，Q為y=1-x²上在y軸兩側(cè)的點(diǎn)，設(shè)P（a，1-a²），Q（b，1-b²），（a＞0＞b），曲線y=1-x²在P（a，1-a²）處的切線為l₁：y=-2ax+a²+1，曲線y=1-x²在Q（b，1-b²）處的切線為l₂：y=-2bx+b²+1，所求圖形為△EFG，其面積S_△EFG=

1

4

（a-b）（2-ab-

1

ab

），由此能求出所求面積最小值．

解答： 解：∵P，Q為y=1-x²上在y軸兩側(cè)的點(diǎn)，
∴設(shè)P（a，1-a²），Q（b，1-b²），（a＞0＞b），
又曲線y=1-x²在點(diǎn)（x，y）的切線斜率為y′=-2x，
∴曲線y=1-x²在P（a，1-a²）處的切線為l₁：y=-2a（x-a）+1-a²，即y=-2ax+a²+1，
曲線y=1-x²在Q（b，1-b²）處的切線為l₂：y=-2b（x-b）+1-b²，即y=-2bx+b²+1，
直線l₁與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E（

a2+1

2a

，0），直線l₂與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F（

b2+1

2b

，0），
直線l₁與l₂的交點(diǎn)為點(diǎn)G（

a+b

2

，1-ab），
∴所求圖形為△EFG，其面積S_△EFG=（

a2+1

2a

-

b2+1

2b

）•

1-ab

2

，
化簡得：S_△EFG=

1

4

（a-b）（2-ab-

1

ab

），
令f（a，b）=S_△EFG=

1

4

（a-b）（2-ab-

1

ab

），
假設(shè)b=b₀＜0時，f（a，b）才能取得最小值，
則令f（a）=

1

4

（a-b₀）（2-ab₀-

1

ab0

），
則f′（a）=-2+2ab₀-b02+

1

a2

，
令f′（a₀）=0，得：-2+2a₀b₀-b02+

1

a02

，
得f（a）_min=f（a₀）=

1

4

（a₀-b₀）（2-a₀b₀-

1

a0b0

），
即a=a₀，b=b₀時，f（a，b）取得最小值f（a，b）_min=f（a₀，b₀）=

1

4

（a₀-b₀）（2-a₀b₀-

1

a0b0

），
即a=a₀＞0時，f（a，b）才能取得最小值，
則令f（b）=

1

4

（a₀-b）（2-a₀b-

1

a0b

），
則f′（b）=-2+2a₀b-a₀²+

1

b2

，
令f′（b₀）=0，得：-2+2a₀b₀-a₀²+

1

b02

，
得f（a）_min=f（a₀）=

1

4

（a₀-b₀）（2-a₀b₀-

1

a0b0

），
∴-2+2a₀b₀-b₀²+

1

a02

，-2+2a₀b₀-a₀²+

1

b02

=0，（a₀＞0＞b₀），
解得a₀=

3

3

，b₀=-

3

3

，f（a，b）_min=f（a₀，b₀）=

8 3

9

，
∴所求面積最小值為（S_△EFG）_min=

8 3

9

．

點(diǎn)評：本題考查三角形面積的最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意直線方程、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、三角形面積公式等知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用．