Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow$=（sinx，cos2x），x∈R，設函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（I）求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）若x∈（0，$\frac{π}{2}$），求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量的數量積求出函數f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由此能求出f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由x∈（0，$\frac{π}{2}$），知2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），由此能求出函數f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow$=（sinx，cos2x），x∈R，
∴函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cosxsinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴當2x-$\frac{π}{3}$→-$\frac{π}{3}$時，f（x）_min→-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）_max=1，
∴函數f（x）的值域為（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

點評 本題考查三角函數的周期性的求法，考查三角函數的值域的求法，涉及到向量數量積公式、三角函數恒等式變換、三角函數圖象及性質等知識點，是中檔題．