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14.已知函數(shù)f(x)=2acos2x+bsinxcosx-32,且f(0)=32,f(\frac{π}{4})=\frac{1}{2}
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求最小正實(shí)數(shù)m,使函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個單位長度所對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù).

分析 (1)利用f(0)=\frac{\sqrt{3}}{2},f(\frac{π}{4})=\frac{1}{2},求得a,b,然后利用三角形的二倍角公式及和角的正弦公式化簡函數(shù)f(x),最后利用三角函數(shù)的周期公式求出f(x)的最小正周期;
(2)由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,可得y=sin(2x+2m+\frac{π}{3})為奇函數(shù),可得2m+\frac{π}{3}=kπ,k∈z,由此求得m的最小值.

解答 解:(1)由 f (0)=\frac{\sqrt{3}}{2},得a=\frac{\sqrt{3}}{2},
由f(\frac{π}{4})=\frac{1}{2},得b=1,
∴f (x)=\sqrt{3}cos2x+sinxcosx-\frac{\sqrt{3}}{2}
=\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x
=sin(2x+\frac{π}{3}
故最小正周期T=π.
(2)∵使函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個單位長度所對應(yīng)的函數(shù)解析式為:y=sin[2(x+m)+\frac{π}{3}]=sin(2x+2m+\frac{π}{3}),
∴根據(jù)y=sin(2x+2m+\frac{π}{3})為奇函數(shù),
可得2m+\frac{π}{3}=kπ,k∈z,
故m的最小值為\frac{π}{3}

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,解決三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問題,一般先將三角函數(shù)化為只含一個角一個函數(shù)的形式,然后利用整體角處理的方法來解決,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P,Q滿足條件:①P、Q都在函數(shù)y=f(x)的圖象上;②P、Q關(guān)于原點(diǎn)對稱,則對稱點(diǎn)(P,Q)是函數(shù)y=f(x)的一個“伙伴點(diǎn)組”(點(diǎn)對(P,Q)與(Q,P)看作同一個“伙伴點(diǎn)組”).則下列函數(shù)中,恰有兩個“伙伴點(diǎn)組”的函數(shù)是②③(填空寫所有正確選項(xiàng)的序號)
①y=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3},x>0}\\{-x-1,x<0}\end{array}\right.;②y=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x-1,x>0}\\{-ln|x|,x<0}\end{array}\right.;③y=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x,x>0}\\{-{x}^{2}-4x,x<0}\end{array}\right.;④y=\left\{\begin{array}{l}{3x+\frac{1}{2},x>0}\\{{e}^{-x},x<0}\end{array}\right.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.已知函數(shù)f(x)=\frac{{t•{3^x}-1}}{{{3^x}+1}}({t∈R})是奇函數(shù).
(1)求t的值;
(2)求f(x)的反函數(shù)f-1(x);
(3)對于任意的0<m<2,解不等式:{f^{-1}}(x)>{log_3}\frac{1+x}{m}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn).
(1)求證:直線BD1∥平面PAC;
(2)求證:平面PAC⊥平面BDD1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.已知函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}|lo{g}_{3}x|,0<x<3\\-cos(\frac{π}{3}x),3≤x≤9\end{array}\right.,若存在實(shí)數(shù)x1,x2,x3,x4,當(dāng)x1<x2<x3<x4時滿足f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),則x1•x2•x3•x4的取值范圍是( �。�
A.(7,\frac{29}{4}B.(21,\frac{135}{4}C.[27,30)D.(27,\frac{135}{4}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.已知集合M={x|\frac{1}{2-x}>0},N={1,2,3,4},則∁RM∩N=( �。�
A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{1}D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.已知集合A={-1,0,1,},B={x|(x-1)2<1},則A∩B=( �。�
A.{-1,0,1}B.{0}C.{1}D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.已知sinα+cosα=-\sqrt{2},則tanα=(  )
A.1B.-2+\sqrt{3}C.-2-\sqrt{3}D.\sqrt{3}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.某班倡議假期每位學(xué)生至少閱讀一本名著,為了解學(xué)生的閱讀情況,對該班所有學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查結(jié)果如表:
閱讀名著的本數(shù)12345
男生人數(shù)31213
女生人數(shù)13312
(Ⅰ)試根據(jù)上述數(shù)據(jù),求這個班級女生閱讀名著的平均本數(shù);
(Ⅱ)若從閱讀5本名著的學(xué)生中任選2人交流讀書心得,求選到男生和女生各1人的概率;
(Ⅲ)試判斷該班男生閱讀名著本數(shù)的方差{s_1}^2與女生閱讀名著本數(shù)的方差{s_2}^2的大小
(只需寫出結(jié)論).(注:方差{s^2}=\frac{1}{n}[{({x_1}-\bar x)^2}+{({x_2}-\bar x)^2}+…+{({x_n}-\bar x)^2}],其中\overline x為x1x2,…xn的平均數(shù))

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同步練習(xí)冊答案