Question

9．市場(chǎng)營(yíng)銷人員對(duì)過(guò)去幾年某商品的價(jià)格及銷售數(shù)量的關(guān)系作數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：該商品的價(jià)格每上漲x%（x＞0），銷售數(shù)量就減少kx%（其中k為常數(shù)）．目前，該商品定價(jià)為a元，統(tǒng)計(jì)其銷售數(shù)量為b個(gè)．
（1）當(dāng)$k=\frac{1}{2}$時(shí)，該商品的價(jià)格上漲多少，就能使銷售總金額y達(dá)到最大，最大值為多少？
（2）在（1）的條件下，求當(dāng)x∈（0，m]時(shí)使$y∈（{ab，\frac{9}{8}ab}]$的m的范圍；
（3）求k的取值范圍，使得在適當(dāng)?shù)臐q價(jià)過(guò)程中，銷售總金額y能不斷增加．

Answer 1

分析 （1）依題意，價(jià)格上漲x%后，銷售總金額為：y=a（1+x%）b（1-kx%），當(dāng)$k=\frac{1}{2}$時(shí)$y=\frac{ab}{10000}（-\frac{1}{2}{x^2}+50x+10000）$，即可得出結(jié)論；
（2）利用函數(shù)圖象，即可求當(dāng)x∈（0，m]時(shí)使$y∈（{ab，\frac{9}{8}ab}]$的m的范圍；
（3）二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為$x=\frac{50（1-k）}{k}$，在適當(dāng)漲價(jià)過(guò)程中，銷售總金額不斷增加，即要求此函數(shù)當(dāng)自變量x在{x|x＞0}的一個(gè)子集中增大時(shí)，y也增大，所以$\frac{50（1-k）}{k}＞0$，即可求k的取值范圍．

解答 解：依題意，價(jià)格上漲x%后，銷售總金額為：y=a（1+x%）b（1-kx%）
=$\frac{ab}{10000}[-k{x^2}+100（1-k）x+10000]$（3分）
（1）當(dāng)$k=\frac{1}{2}$時(shí)$y=\frac{ab}{10000}（-\frac{1}{2}{x^2}+50x+10000）$（4分）
∴x=50，即商品價(jià)格上漲50%時(shí)，y最大為$\frac{9}{8}ab$．
答：商品價(jià)格上漲50%時(shí)，銷售的總金額達(dá)到最大，最大值為$\frac{9}{8}ab$．    （7分）
（2）在（1）的條件下，當(dāng)$y∈（{ab，\frac{9}{8}ab}]$時(shí)，由圖象可知，m∈[50，100）（11分）
（3）因?yàn)?y=\frac{ab}{10000}[-k{x^2}+100（1-k）x+10000]$，
此二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為$x=\frac{50（1-k）}{k}$，
在適當(dāng)漲價(jià)過(guò)程中，銷售總金額不斷增加，即要求此函數(shù)當(dāng)自變量x在{x|x＞0}的一個(gè)子集中增大時(shí)，y也增大，所以$\frac{50（1-k）}{k}＞0$，解之得0＜k＜1．
答：當(dāng)0＜k＜1時(shí)，可在適當(dāng)漲價(jià)過(guò)程中，銷售總金額不斷增加．    （16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查函數(shù)模型的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．