Question

拋物線x²=ky與曲線y=lnx的公共切線方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：聯(lián)立兩曲線方程，消去y，分離參數(shù)k=

x2

lnx

，設(shè)f（x）=

x2

lnx

，求出導(dǎo)數(shù)，得到單調(diào)區(qū)間和極值，這也是兩函數(shù)圖象相切的臨界值，進(jìn)而得到切點(diǎn)，由（lnx）′=

1

x

，即有切線斜率，再由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求切線方程．

解答： 解：拋物線為y=

1

k

•x²，曲線為y=lnx，其中x＞0，
聯(lián)立方程得，

1

k

•x²=lnx，分離參數(shù)k=

x2

lnx

設(shè)f（x）=

x2

lnx

，則f'（x）=

x(2lnx-1)

(lnx)2

，
由f′（x）=0，解得x=

e

，
由于x＞

e

時(shí)，f（x）遞增，0＜x＜

e

遞減，
則f（x）在x=

e

處取得極小值，這也是兩函數(shù)圖象相切的臨界值，
此時(shí)參數(shù)k=f（

e

）=2e（這個(gè)k不是斜率），切點(diǎn)為（

e

，

1

2

），
由于（lnx）′=

1

x

，即有切線斜率為

1

e

，
公切線的方程為：y-

1

2

=

1

e

（x-

e

），即為
y=

1

e

x-

1

2

．
故答案為：y=

1

e

x-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，聯(lián)立方程運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得極值點(diǎn)，得到切點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．