Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，E、F分別為AB、PC的中點．

(1)求異面直線PA與BF所成角的正切值．

(2)求證：EF⊥平面PCD．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如圖，連結(jié)AC過點F作FO⊥AC， 　　∴面PAC⊥面ABCD 　　∵PA⊥平面ABCD， 　　∴平面PAC⊥AC，垂足為O， 　　連結(jié)BO，則FO⊥平面ABCD，且FO∥PA． 　　∴∠BFO為異面直線PA與BF所成的角　　4分 　　在Rt△BOF中，OFPA＝1， 　　OB＝，則tanBFO＝　　6分 　　(2)連結(jié)OE、CE、PE． 　　∵E是AB的中點， 　　∴OE⊥AB 　　又FO⊥平面ABCD， 　　∴EF⊥AB． 　　∵AB∥CD 　　∴EF⊥CD 　　在Rt△PAE和Rt△CBE中，PA＝CB，AE＝BE， 　　∴Rt△PAE≌Rt△CBE， 　　∴PE＝CE　　10分 　　∴又F為PC的中點， 　　∴EF⊥PC． 　　故EF⊥平面PCD　　12分