Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）當a＞0時，若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，求a的取值范圍；
（3）若對于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導，分別令f′（x）＞0f′（x）＜0可求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間．
（2）利用導數(shù)求出f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值，建立關于a的關系式．注意進行分類討論．
（3）設g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax²-ax+lnx，只要g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，定義域為（0，+∞）f′(x)=2x-3+

1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

…（2分）
令f′（x）＞0得0＜x＜

1

2

或x＞1；令f′（x）＜0得

1

2

＜x＜1；
所以y=f(x)的增區(qū)間為(0，

1

2

)和(1，+∞)，減區(qū)間為(

1

2

，1)．…（4分）
（2）函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域是（0，+∞）．…（5分）
當a＞0時，f′(x)=2ax-(a+2)+

1

x

=

2ax2-(a+2)x-1

x

(x＞0)
令f'（x）=0，即f′(x)=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

=0，
所以x=

1

2

或x=

1

a

…（6分）
①當0＜

1

a

≤1，即a≥1時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2，符合題意；
②當1＜

1

a

＜e時，即

1

e

＜a＜1時，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)＜f(1)=-2，不合題意；
③當

1

a

≥e時，即0＜a≤

1

e

時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合題意．
綜上可知，f（x）的取值范圍為[1，+∞）．…（8分）
（3）設g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax²-ax+lnx，
只要g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可．…（9分）
而g′(x)=2ax-a+

1

x

=

2ax2-ax+1

x

當a=0時，g′(x)=

1

x

＞0，此時g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增； …（10分）
當a≠0時，只需g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，因為x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，
則需要a＞0，…（11分）
對于函數(shù)y=2ax²-ax+1，過定點（0，1），對稱軸x=

1

4

＞0，只需△=a²-8a≤0，
即0＜a≤8．綜上0≤a≤8．…（12分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，求函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，恒成立問題成立的條件．．