點H(-3,0),點P在y軸上,點Q在x軸正半軸上,點M在直線PQ上,且滿足
HP
PM
=0,
PM
=-
3
2
MQ

(1)當點P在y軸上移動時,求點M的軌跡C的方程
(2)過定點D(m,0)(m>0)做直線l交軌跡C于A、B兩點,E是D關于坐標原點的對稱點,求證:∠AED=∠BED.
(3)在(2)中,是否存在垂直于x軸的直線被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出直線的方程,若不存在,說明理由.
分析:(1)設M(x,y),則P(0,-
y
2
),Q(
x
3
,0)
則可得,
HP
=(3,-
y
2
)
,
PM
=(x,
3y
2
)
,由
HP
PM
=0
代入整理可求
(2)要證明∠AED=∠BED,根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關系,只要證KAE=-KBE即可
(3)假設存在滿足條件的直線,根據(jù)垂徑定理得性質可知,要使正弦長為定值,則只要圓心到直線的距離為定值即可
解答:解:(1)設M(x,y),則P(0,-
y
2
),Q(
x
3
,0)

則可得,
HP
=(3,-
y
2
)
,
PM
=(x,
3y
2
)

HP
PM
=3x-
3y2
4
=0

所以:y2=4x
(2)當AB垂直x軸時,A、B關于x軸對稱,所以∠AED=∠BED
當AB存在斜率時,設直線AB:y=k(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2
y2=4x
y=k(x-m)
k2x2-2(mk2+2)x+k2m2=0
x1+x2=
2(mk2+2)
k2
x1x2=m2

kAE+kBE=
y1
x1+m
+
y2
x2+m
=
k(x1-m)(x2+m)+k(x2-m)(x1+m)
(x1+m)(x2+m)
=0

所以kAE=-kBE
所以∠AED=∠BED
(3)假設存在垂直x軸的直線x=n,弦長為d
1
4
d2=
1
4
AD2-(
x1+m
2
-n)2
=(n-m+1)x1+mn-n2

當m=1時不存在
當m>0且m≠1時,存在直線x=m-1
點評:本題以向量得數(shù)量積得坐標表示為載體考查了圓錐曲線得求解及直線與圓、圓錐曲線的位置關系得求解.屬于綜合試題.
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(Ⅰ)當點P在y軸上移動時,求點M的軌跡C;
(Ⅱ)過定點D(m,0)(m>0)作直線l交軌跡C于A、B兩點,E是D點關于坐標原點O的對稱點,求證:∠AED=∠BED;
(Ⅲ)在(Ⅱ)中,是否存在垂直于x軸的直線l'被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在求出l'的方程;若不存在,請說明理由.

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(Ⅰ)當點P在y軸上移動時,求點M的軌跡C;
(Ⅱ)過定點D(m,0)(m>0)作直線l交軌跡C于A、B兩點,E是D點關于坐標原點O的對稱點,求證:∠AED=∠BED;
(Ⅲ)在(Ⅱ)中,是否存在垂直于x軸的直線l'被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在求出l'的方程;若不存在,請說明理由.

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