Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

(3n+3)an+4n+6

n

（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{

an

n

+

2

n

}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）令b_n=

3n-1

an+2

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
①證明：b_n+1+b_n+2+…+b_2n＜

4

5

②證明：當(dāng)n≥2時(shí)，S_n²＞2（

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定,數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得

an+1

n+1

=3×

an

n

+

4n+6

n(n+1)

，由此能推導(dǎo)出數(shù)列{

an

n

+

2

n

}是等比數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）（ⅰ）由

an

n

+

2

n

=3^n-1，得an=n•3n-1-2，從而bn=

1

n

，原不等式即為：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

4

5

，先用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式當(dāng)n≥2時(shí)，

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

4

5

-

1

2n+1

，由此能證明b_n+1+b_n+2+…+b_2n＜

4

5

．
（ⅱ）由S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，得當(dāng)n≥2，Sn2-Sn-12=2•

Sn

n

-

1

n2

，從而利用累加法得Sn2-1=2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)，進(jìn)而得到Sn2＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)+

1

n

＞2（

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

），由此能證明當(dāng)n≥2時(shí)，S_n²＞2（

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

）．

解答： （Ⅰ）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

(3n+3)an+4n+6

n

（n∈N^*），
∴na_n=3（n+1）a_n+4n+6，
兩邊同除n（n+1）得，

an+1

n+1

=3×

an

n

+

4n+6

n(n+1)

，
即

an+1

n+1

=3×

an

n

+

6

n

-

2

n+1

，
也即

an+1

n+1

+

2

n+1

=3×(

an

n

+

2

n

)，
又a₁=-1，∴

a1

1

+

2

1

=1≠0，
∴數(shù)列{

an

n

+

2

n

}是等比數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．

（Ⅱ）（ⅰ）證明：由（Ⅰ）得，

an

n

+

2

n

=3^n-1，∴an=n•3n-1-2，
∴bn=

1

n

，
原不等式即為：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

4

5

，
先用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：
當(dāng)n≥2時(shí)，

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

4

5

-

1

2n+1

，
證明過(guò)程如下：
當(dāng)n=2時(shí)，左邊=

1

3

+

1

4

=

7

12

=

35

60

＜

36

60

=

4

5

-

1

2×2+1

，不等式成立
假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

＜

4

5

-

1

2k+1

，
則n=k+1時(shí)，左邊=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2k+1

-

1

2k+1

-

1

k+1

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

4

5

-

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2(k+1)+1

，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
因此，當(dāng)n≥2時(shí)，

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

4

5

-

1

2n+1

，
當(dāng)n≥2時(shí)，

4

5

-

1

2n+1

＜

4

5

，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

4

5

，
又當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

1

2

＜

4

5

，不等式成立
故b_n+1+b_n+2+…+b_2n＜

4

5

．
（ⅱ）證明：由（i）得，S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
當(dāng)n≥2，Sn2-Sn-12=（1+

1

2

+…+

1

n-1

+

1

n

）²-（1+

1

2

+…+

1

n-1

）²
=

1

n

(2Sn-

1

n

)
=2•

Sn

n

-

1

n2

，
Sn-12-Sn-22=2•

Sn-1

n-1

-

1

(n-1)2

，
…
S22-S12=2•

S2

2

-

1

22

，
將上面式子累加得，Sn2-1=2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)，
又

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

，
∴Sn2-1＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)-(1-

1

n

)，
即Sn2＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)+

1

n

＞2（

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n²＞2（

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法、累加法、裂項(xiàng)求和法、數(shù)學(xué)歸納法、放縮法的合理運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的要求較高．