Question

函數(shù)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則a的取值范圍是________．

Answer 1

（-96，-15）
分析：首先討論a=0時(shí)原函數(shù)圖象的情況，當(dāng)a≠0時(shí)，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分a＞0和a＜0兩種情況討論原函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值點(diǎn)并求解極值，當(dāng)a＞0時(shí)，要使原函數(shù)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，需要極大值大于0，且極小值小于0，此時(shí)a的值不存在；當(dāng)a＜0時(shí)，要使原函數(shù)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則需要極小值小于0，且極大值大于0，由此解得a的取值范圍．
解答：由，
若a=0時(shí)，原函數(shù)化為f（x）=80．為常數(shù)函數(shù)，不合題意；
f^′（x）=ax²+ax-2a=a（x²+x-2）=a（x+2）（x-1）．
若a＞0時(shí)，當(dāng)x∈（-∞，-2），x∈（1，+∞）時(shí)有f^′（x）＞0，
函數(shù)f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上為增函數(shù)．
當(dāng)x∈（-2，1）時(shí)，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-2，1）上為減函數(shù)．
所以函數(shù)f（x）在x=-2時(shí)取得極大值=．
函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取得極小值．
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象先增后減再增，要使函數(shù)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，
則，解①得：a＞-15．解②得：a＜-96．
此時(shí)a∈∅；
若a＜0，當(dāng)x∈（-∞，-2），x∈（1，+∞）時(shí)有f^′（x）＜0，
函數(shù)f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上為減函數(shù)．
當(dāng)x∈（-2，1）時(shí)，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-2，1）上為增函數(shù)．
所以函數(shù)f（x）在x=-2時(shí)取得極小值=．
函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取得極大值．
為函數(shù)的圖象先減后增再減，要使函數(shù)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，
則，解得-96＜a＜-15．
所以使函數(shù)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限的a的取值范圍是（-96，-15）．
故答案為（-96，-15）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了函數(shù)的極值與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，思考該問題時(shí)考慮數(shù)與形的結(jié)合，屬中檔題．