Question

在平面直角坐標(biāo)系中，若，且.
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）已知定點(diǎn)，若斜率為的直線過點(diǎn)并與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且對(duì)于軌跡上任意一點(diǎn)，都存在，使得成立，試求出滿足條件的實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）設(shè)，則，，由可得，結(jié)合橢圓的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，從而可以確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)的取值，進(jìn)而寫出橢圓的方程即可；（2）設(shè)，直線：，聯(lián)立直線的方程與（1）中橢圓的方程，消去得到，進(jìn)而根據(jù)得，且，再計(jì)算出，然后由確定的橫縱坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在軌跡上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入軌跡的方程并由的任意性，得到即，從中求解，并結(jié)合即可得到滿足要求的的值.
試題解析：（1）設(shè)，則，
由可得
∴動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為4
∴軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為
設(shè)該橢圓的方程為
則有且，所以
所以軌跡的方程為
（2）設(shè)，直線的方程為，代入
消去得
由得，且
∴
設(shè)點(diǎn)，由可得
∵點(diǎn)在上
∴



∴
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041641012632.png" style="vertical-align:middle;" />的任意性，∴
∴，又，得
代入檢驗(yàn)，滿足條件，故的值是．