已知函數(shù)f(x)=
13
x3+ax2+bx，a，b∈R
（1）曲線C：y=f（x）經(jīng)過點P（1，2），且曲線C在點P處的切線平行于直線y=2x+1，求a，b的值．
（2）已知f（x）在區(qū)間（1，2）內存在兩個極值點，求證：0＜a+b＜2．
分析：（1）根據(jù)曲線y=f（x）經(jīng)過P（1，2），所以該點坐標適合曲線方程，又曲線C在點P處的切線平行于直線y=2x+1，所以f′（1）=2，聯(lián)立兩方程可求得a，b的值；
（2）要使f（x）在區(qū)間（1，2）內存在兩個極值點，則有f′（x）=0在在（1，2）上有兩個不等實數(shù)根，根據(jù)三個二次的關系列式，通過整理變形可以得到要整的結論．
解答：解：（1）由f(x)=
1
3
x3+ax2+bx，得：f′（x）=x2+2ax+b
因為y=f（x）經(jīng)過點P（1，2），所以有
1
3
×13+a×12+b=2，即3a+3b-5=0 ②
又曲線C在點P處的切線平行于直線y=2x+1，所以f′（1）=2a+b+1=2，即2a+b-1=0   ①
聯(lián)立①②得：a=-
2
3
，b=
7
3
；
（2）因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內存在兩個極值點，所以導函數(shù)對應的二次方程x2+2ax+b=0在（1，2）
上有兩個不等實數(shù)根，則
△=(2a)2-4b＞0
-2＜a＜-1
1+2a+b＞0
4+4a+b＞0

把
-2＜a＜-1
1+2a+b＞0
相加得a+b＞0，
由△＞0得b＜a2，
則a+b＜a+a2=(a+
1
2
)2-
1
4
＜2，則結論得證．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)極值及函數(shù)切線方程問題，考查了數(shù)學轉化思想，訓練了求求曲線在某點的切線方程的方法及如何讓運用三個二次的結合解決二次方程在給定區(qū)間上根的問題，對基本運算進行了考查．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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