數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)a2=-1時(shí),求λ及a3的值;
(Ⅱ)數(shù)列{an}是否可能為等差數(shù)列?若可能,求出它的通項(xiàng)公式;若不可能,說(shuō)明理由;
(Ⅲ)求λ的取值范圍,使得存在正整數(shù)m,當(dāng)n>m時(shí)總有an<0.
分析:(Ⅰ)由題設(shè)條件知當(dāng)a2=-1時(shí),得-1=2-λ,故λ=3.從而求出a3
(Ⅱ)由題意知若存在λ,使{an}為等差數(shù)列,則有a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.這與{an}為等差數(shù)列矛盾.所以,對(duì)任意λ,{an}都不可能是等差數(shù)列.
(Ⅲ)記bn=n2+n-λ(n=1,2,),n0=2k(k=1,2,),則λ滿足
b2k=(2k)2+2k-λ>0
b2k-1=(2k-1)2+2k-1-λ<0
.由此可求出故λ的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,),且a1=1.
所以當(dāng)a2=-1時(shí),得-1=2-λ,故λ=3.
從而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(Ⅱ)數(shù)列{an}不可能為等差數(shù)列,證明如下:由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an
得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{an}為等差數(shù)列,則a3-a2=a2-a1,即(5-λ)(2-λ)=1-λ,
解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
這與{an}為等差數(shù)列矛盾.所以,對(duì)任意λ,{an}都不可能是等差數(shù)列.
(Ⅲ)記bn=n2+n-λ(n=1,2,),根據(jù)題意可知,b1<0且bn≠0,即λ>2
且λ≠n2+n(n∈N*),這時(shí)總存在n0∈N*,滿足:當(dāng)n≥n0時(shí),bn>0;
當(dāng)n≤n0-1時(shí),bn<0.所以由an+1=bnan及a1=1>0可知,若n0為偶數(shù),
an0<0,從而當(dāng)n>n0時(shí),an<0;若n0為奇數(shù),則an0>0
從而當(dāng)n>n0時(shí)an>0.因此“存在m∈N*,當(dāng)n>m時(shí)總有an<0”
的充分必要條件是:n0為偶數(shù),
記n0=2k(k=1,2,),則λ滿足
b2k=(2k)2+2k-λ>0
b2k-1=(2k-1)2+2k-1-λ<0

故λ的取值范圍是4k2-2k<λ<4k2+2k(k∈N*).
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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設(shè)b>0,數(shù)列{an}滿足a1=b,an=
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1
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,n=1,2,….

(I)已知數(shù)列{an}極限存在且大于零,求A=
lim
n→∞
an
(將A用a表示);
(II)設(shè)bn=an-A,n=1,2,…,證明:bn+1=-
bn
A(bn+A)
;
(III)若|bn|≤
1
2n
對(duì)n=1,2,…
都成立,求a的取值范圍.

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12
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(2)求{an}的通項(xiàng)公式.

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數(shù)列{an}滿足a1=
4
3
,an+1=an2-an+1(n∈N*),則m=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2013
的整數(shù)部分是(  )

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