Question

如圖，已知平面AEMN丄平面ABCD，四邊形AEMN為 正方形，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，BC=CD=2AB=2，E 為 CD 的中點．
（I ）求證：MC∥平面BDN；
（II）求多面體ABDN的體積．

Answer 1

解：（I ）證明：∵AB∥CD，CD=2AB，E為CD的中點，∴ABCE，
∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴BCAE，
∵四邊形AEMN是正方形，∴AEMN，∴BCMN，
所以四邊形BCMN為平行四邊形，
∴MC∥NB，
又∵NB?平面BDN，MC?平面BDN，
∴MC∥平面BDN；
（II）因為平面AEMN丄平面ABCD，
平面AEMN∩平面ABCD=AE，
又AN⊥AE，AN?平面AEMN，
∴AN⊥平面ABCD，
∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴BC的長度就是D到AB的距離，
∴V_A-BDN=V_N-ABD====．
∴多面體V_A-BDN的體積為．
分析：（I ）通過證明四邊形AEMN為平行四邊形，然后利用直線與平面平行的判定定理證明MC∥平面BDN；
（II）說明BC的長度就是D到AB的距離，利用V_A-BDN=V_N-ABD，求出多面體ABDN的體積．
點評：本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查計算能力空間想象能力．