Question

已知公差大于零的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22，求S_n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出a₃，a₄是一元二次方程x²-22x+117=0的兩個(gè)根，且a₃＜a₄，從而求出a₃=9，a₄=13，進(jìn)而得到a₁=1，d=4，由此能求出S_n的最小值．

解答： 解：∵公差大于零的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
且滿足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22，
∴a₃+a₄=a₂+a₅=22，
∴a₃，a₄是一元二次方程x²-22x+117=0的兩個(gè)根，且a₃＜a₄，
解得a₃=9，a₄=13，
∴

a1+2d=9 a1+3d=13

，
解得a₁=1，d=4，
∴S_n=n+

n(n-1)

2

•4
=2n²-n
=2（n²-

1

2

n）
=2（n-

1

4

）²-

1

8

，
∴n=1時(shí)，S_n取最小值1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．