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10.已知A,B是函數(shù)f(x)=12+log2x1x的圖象上任意兩點,且OM=12OA+OB),點M(12,m).
(I)求m的值;
(II)若Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n1n),n∈N*,且n≥2,求Sn
(III)已知an={12n=1Snn2,其中n∈N*.Tn為數(shù)列{an}的前項和,若Tn>λ(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求λ的取值范圍.

分析 (1)OM=12OA+OB可知M是AB的中點,根據中點坐標公式求得x1和x2的關系,代入函數(shù)解析式即可求得m的值;
(2)由(1)可知,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,采用倒序相加法,即可求求得Sn
(3)由題意可知當n≥2時,an=n12,求得數(shù)列{an}的前n項和Tn,由Tn>λ(Sn+1+1),采用分離變量即可求得λ的表達式,即可求得λ的取值范圍.

解答 解:(1)∵OM=12OA+OB
∴M是AB的中點,設A(x1,y1),B(x2,y2),則
12x1+x2=12,得x1+x2=1,則x1=1-x2,x2=1-x1
m=12y1+y2=12[fx1+fx2]=1212+log2x11x1+12+log2x21x2,
=121+log2x1x2+log2x2x1
=121+log2x1x2x2x1=12
m=12
(2)由(1)知:x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,
Sn=f1n+f2n++fn1n,
Sn=fn1n+fn2n++f1n
兩式相加,得:2Sn=[f1n+fn1n]+[f2n+fn2n]++[fn1n+f1n]=1+1++1n1=n1
Sn=n12(n≥2,n∈N).
(3)當n≥2時,an=n12Tn=a1+a2+a3++an=12+14nn1=n2n+24,
由Tn>λ(Sn+1+1),得\frac{{{n^2}-n+2}}{4}>λ\frac{n+2}{2},
λ<\frac{{{n^2}-n+2}}{2(n+2)}對任意n≥2,n∈N*都成立,
\frac{{{n^2}-n+2}}{2(n+2)}=\frac{1}{2}[(n+2)+\frac{8}{n+2}-5]≥\frac{1}{2}(4+\frac{8}{4}-5)=\frac{1}{2},
當且僅當n=2時等號成立,
λ<\frac{1}{2}
當n=1時,λ<\frac{1}{3},
綜上可知λ<\frac{1}{2}
故λ的取值范圍是(-∞,\frac{1}{2}).

點評 本題考查數(shù)列的前n項和,涉及了向量的中點坐標公式、采用倒序相加法求前n項和及不等式的性質,考查分析問題及解決問題得能力,綜合能力強,屬于中檔題.

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