分析 (1)→OM=12(→OA+→OB)可知M是AB的中點,根據中點坐標公式求得x1和x2的關系,代入函數(shù)解析式即可求得m的值;
(2)由(1)可知,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,采用倒序相加法,即可求求得Sn;
(3)由題意可知當n≥2時,an=n−12,求得數(shù)列{an}的前n項和Tn,由Tn>λ(Sn+1+1),采用分離變量即可求得λ的表達式,即可求得λ的取值范圍.
解答 解:(1)∵→OM=12(→OA+→OB),
∴M是AB的中點,設A(x1,y1),B(x2,y2),則
由12(x1+x2)=12,得x1+x2=1,則x1=1-x2,x2=1-x1,
而m=12(y1+y2)=12[f(x1)+f(x2)]=12(12+log2x11−x1+12+log2x21−x2),
=12(1+log2x1x2+log2x2x1),
=12(1+log2x1x2•x2x1)=12
∴m=12.
(2)由(1)知:x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,
Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n−1n),
Sn=f(n−1n)+f(n−2n)+…+f(1n),
兩式相加,得:2Sn=[f(1n)+f(n−1n)]+[f(2n)+f(n−2n)]+…+[f(n−1n)+f(1n)]=1+1+…+1⏟n−1=n−1,
∴Sn=n−12(n≥2,n∈N).
(3)當n≥2時,an=n−12,Tn=a1+a2+a3+…+an=12+14n(n−1)=n2−n+24,
由Tn>λ(Sn+1+1),得\frac{{{n^2}-n+2}}{4}>λ\frac{n+2}{2},
∴λ<\frac{{{n^2}-n+2}}{2(n+2)}對任意n≥2,n∈N*都成立,
\frac{{{n^2}-n+2}}{2(n+2)}=\frac{1}{2}[(n+2)+\frac{8}{n+2}-5]≥\frac{1}{2}(4+\frac{8}{4}-5)=\frac{1}{2},
當且僅當n=2時等號成立,
∴λ<\frac{1}{2}.
當n=1時,λ<\frac{1}{3},
綜上可知λ<\frac{1}{2}.
故λ的取值范圍是(-∞,\frac{1}{2}).
點評 本題考查數(shù)列的前n項和,涉及了向量的中點坐標公式、采用倒序相加法求前n項和及不等式的性質,考查分析問題及解決問題得能力,綜合能力強,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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A. | 2004 | B. | 2006 | C. | 4008 | D. | 6011 |
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