Question

定義在R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=kx+b（k，b為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)、現(xiàn)有如下命題：
①對(duì)給定的函數(shù)f（x），其承托函數(shù)可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)；
②g（x）=2x為函數(shù)f（x）=2^x的一個(gè)承托函數(shù)；
③定義域和值域都是R的函數(shù)f（x）不存在承托函數(shù)．
下列選項(xiàng)正確的是（　�。�

• A、①
• B、②
• C、①③
• D、②③

Answer 1

分析：對(duì)于①，若取f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1），都滿足，且有無(wú)數(shù)個(gè)，故錯(cuò)；
對(duì)于②，即x=

3

2

時(shí)，②錯(cuò)；
對(duì)于③，如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故錯(cuò)．
抽象的背后總有具體的模型，我們可以通過(guò)具體的函數(shù)的研究，進(jìn)行合理地聯(lián)想．

解答：解：對(duì)于①，若f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1），
就是它的一個(gè)承托函數(shù)，且有無(wú)數(shù)個(gè)，再如y=tanx，y=lgx就沒(méi)有承托函數(shù)，∴命題①正確、
對(duì)于②，∵當(dāng)x=

3

2

時(shí)，g(

3

2

)=3，f(

3

2

)=2

2

=

8

，
∴f（x）＜g（x），
∴g（x）=2x不是f（x）=2^x的一個(gè)承托函數(shù)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于③如f（x）=2x+3存在一個(gè)承托函數(shù)y=2x+1，故錯(cuò)誤；
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題是以抽象函數(shù)為依托，考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，屬于較難題，抽象函數(shù)是相對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)來(lái)說(shuō)的，它雖然沒(méi)有具體的表達(dá)式，但是有一定的對(duì)應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對(duì)應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．