Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)與在內(nèi)恰有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）令，如果圖象與軸交于，中點(diǎn)為，求證:.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出斜率和切點(diǎn)，然后再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求出結(jié)果；

（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性做出草圖，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）由點(diǎn)在圖象上，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入的解析式得方程組，兩式相減得關(guān)于的方程，假設(shè)成立，求導(dǎo)，得關(guān)于的方程，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化關(guān)于的方程，兩方程消去，得關(guān)于的方程，整理此方程，分子分母同除以，整理方程，右邊為，設(shè)，左邊得關(guān)于的函數(shù)，求此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)值恒小于，所以方程不成立，所以假設(shè)不成立，所以．

（1），

則，且切點(diǎn)坐標(biāo)為；

所以所求切線方程為：

（2），所以在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

， ；

所以

（3），， 假設(shè)，則有

①-②得： ∴，

由④得， ∴；即；

即⑤； 令，，

則在0<t<1上增函數(shù)..∴⑤式不成立，故與假設(shè)矛盾.∴.