Question

18．圓心角為60°的扇形AOB的半徑為1，C是AB弧上一點，作矩形CDEF，如圖，當C點在什么位置時，這個矩形的面積最大？這時的；∠AOC等于多少度？

Answer 1

分析 設∠AOC=α，0°≤α≤60°，由三角形的知識易得S=sinα（cosα-$\frac{sinα}{\sqrt{3}}$），由三角函數(shù)公式化簡可得S=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2α+30°）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，由0°≤α≤60°和三角函數(shù)的最值可得．

解答 解：設∠AOC=α，0°≤α≤60°，
則CF=OCsinα=sinα，EF=OF-OE
=cosα-$\frac{DE}{tan60°}$=cosα-$\frac{sinα}{\sqrt{3}}$，
∴矩形CDEF面積S=sinα（cosα-$\frac{sinα}{\sqrt{3}}$）
=sinαcosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin²α
=$\frac{1}{2}$sin2α-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1-cos2α}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α+$\frac{1}{2}$cos2α）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2α+30°）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
∵0°≤α≤60°，∴30°≤2α+30°≤150°，
∴當2α+30°=90°即α=30°即C為AB弧的中點時，
S取取最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，設置未知量并化問題為三角函數(shù)是解決問題的關鍵，屬中檔題．