Question

雙曲線中心在原點(diǎn)，一條漸近線方程為，準(zhǔn)線方程為．
（1）求雙曲線方程；
（2）若雙曲線上存在關(guān)于y=kx+1對(duì)稱的二點(diǎn)，求k范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)雙曲線方程為
由準(zhǔn)線方程知
∴雙曲線方程為
（2）設(shè)雙曲線上關(guān)于y=kx+1對(duì)稱二點(diǎn)為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中點(diǎn)為Q（x₀，y₀）
設(shè)MN的方程為代入
得
由且
又Q（x₀，y₀）在直線y=kx+1
∴
∴
代入①式得22k⁴-13k²+1＞0
∴或 且
∴∪∪∪
分析：（1）根據(jù)漸近線方程為，可假設(shè)方程為，再利用準(zhǔn)線方程，可求雙曲線方程；
（2）設(shè)雙曲線上關(guān)于y=kx+1對(duì)稱二點(diǎn)為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中點(diǎn)為Q（x₀，y₀），將MN的方程為代入，再利用Q（x₀，y₀）在直線y=kx+1，及判別式可求k范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查對(duì)稱性，有一定的綜合性．