Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）e^kx，（k為常數(shù)，k≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=（x+1）e^kx
∴f′（x）=e^kx+ke^kx（x+1）=e^kx（kx+k+1），k≠0；--（2分）
當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=（x+1）e^x，f′（x）=e^x（x+2），
令f′（x）＞0，∵e^x＞0，∴x＞-2，令f′（x）＜0，∵e^x＞0，∴x＜-2，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-2）遞減，在（-2，+∞）遞增．---（5分）
∴函數(shù)f（x）在x=-2時(shí)取得極小值；----（7分）
（Ⅱ）由（1）知∴f′（x）=e^kx（kx+k+1），
令f′（x）≥0，∵e^kx＞0，∴kx+k+1≥0，----（9分）
由k≠0，∴當(dāng)k＞0時(shí)，，
∴當(dāng)k＞0時(shí)f（x）在遞增，在遞減；---（11分）
同理k＜0時(shí)，f（x）在遞減，在遞增．…（13分）
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）≥0（≤0），分類討論，即可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性．