【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣lnx+a﹣1,g(x)= +ax﹣xlnx,其中a>0.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),g(x)的最小值大于 ﹣lna,求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).,

當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0.

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞)


(2)解:易知g'(x)=x﹣lnx+a﹣1=f(x).

由(1)知,f(x)≥f(1)=a>0,

所以當(dāng)x≥1時(shí),g'(x)≥g'(1)=a>0.

從而g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,

所以g(x)的最小值

依題意得 ,即a+lna﹣1>0.

令h(a)=lna+a﹣1,易知h(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以h(a)>h(1)=0,所以a的取值范圍是(1,+∞)


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求解函數(shù)的單調(diào)性.(2)利用g'(x)=x﹣lnx+a﹣1=f(x).結(jié)合(1)知,判斷g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,求出g(x)的最小值,推出a+lna﹣1>0,令h(a)=lna+a﹣1,利用h(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.求解a的范圍.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=|x|+|x﹣1|.
(Ⅰ)若f(x)≥|m﹣1|恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值M;
(Ⅱ)在(Ⅰ)成立的條件下,正實(shí)數(shù)a,b滿足a2+b2=M,證明:a+b≥2ab.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某銷售公司擬招聘一名產(chǎn)品推銷員,有如下兩種工資方案:

方案一:每月底薪2000元,每銷售一件產(chǎn)品提成15元;

方案二:每月底薪3500元,月銷售量不超過300件,沒有提成,超過300件的部分每件提成30元.

(1)分別寫出兩種方案中推銷員的月工資(單位:元)與月銷售產(chǎn)品件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)從該銷售公司隨機(jī)選取一名推銷員,對(duì)他(或她)過去兩年的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下統(tǒng)計(jì)表:

月銷售產(chǎn)品件數(shù)

300

400

500

600

700

次數(shù)

2

4

9

5

4

把頻率視為概率,分別求兩種方案推銷員的月工資超過11090元的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),證明: 為偶函數(shù);

(2)若上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍,使上恒成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在矩形,E為的中點(diǎn),將沿翻折到的位置,平面,的中點(diǎn),則在翻折過程中,下列結(jié)論正確的是( )

A.恒有 平面

B.B與M兩點(diǎn)間距離恒為定值

C.三棱錐的體積的最大值為

D.存在某個(gè)位置,使得平面⊥平面

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】據(jù)相關(guān)規(guī)定,24小時(shí)內(nèi)的降水量為日降水量(單位:mm),不同的日降水量對(duì)應(yīng)的降水強(qiáng)度如表:

日降水量

(0,10)

[10,25)

[25,50)

[50,100)

[100,250)

[250,+∞)

降水強(qiáng)度

小雨

中雨

大雨

暴雨

大暴雨

特大暴雨

為分析某市“主汛期”的降水情況,從該市2015年6月~8月有降水記錄的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本,具體數(shù)據(jù)如下:
16 12 23 65 24 37 39 21 36 68
(1)請(qǐng)完成以如表示這組數(shù)據(jù)的莖葉圖;

(2)從樣本中降水強(qiáng)度為大雨以上(含大雨)天氣的5天中隨機(jī)選取2天,求恰有1天是暴雨天氣的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】[選修4-5:不等式選講]

已知函數(shù)

(1)解不等式:;

(2)對(duì)任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為藥, 藥)的療效,隨機(jī)地選取18位患者服用藥,18位患者服用藥,這36位患者服用一段時(shí)間后,記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間(單位:),試驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下:

服用藥的18位患者日平均增加的睡眠時(shí)間:

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3

服用藥的18位患者日平均增加的睡眠時(shí)間:

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7

(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(小數(shù)點(diǎn)后保留兩位小數(shù)),從計(jì)算結(jié)果看哪種藥療效更好?

2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖,從莖葉圖看,哪種藥的療效更好?并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我市物價(jià)監(jiān)督部門為調(diào)研某公司新開發(fā)上市的一種產(chǎn)品銷售價(jià)格的合理性,對(duì)該公司的產(chǎn)品的銷售與價(jià)格進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析,得到如下數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖:

定價(jià)(元/

10

20

30

40

50

60

年銷售

1150

643

424

262

165

86

14.1

12.9

12.1

11.1

10.2

8.9

圖(1)為散點(diǎn)圖,圖(2)為散點(diǎn)圖.

(Ⅰ)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,哪一對(duì)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性(不必證明);

(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結(jié)果和參考數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程(線性回歸方程中的斜率和截距均保留兩位有效數(shù)字);

(Ⅲ)定價(jià)為多少時(shí),年銷售額的預(yù)報(bào)值最大?(注:年銷售額定價(jià)年銷售)

參考數(shù)據(jù):,,,,,

參考公式:,.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案