Question

關于函數(shù)f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命題：
①由f （x₁）=f （x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②若x₁，x₂∈（-，），且2f（x1）=f（x₁+x₂+），則x₁＜x₂；
③函數(shù)的圖象關于點（-，0）對稱；
④函數(shù)y=f （-x）的單調遞增區(qū)間可由不等式2kπ-≤-2x+≤2kπ+（k∈Z）求得．
正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：對于①和③通過利用三角函數(shù)的函數(shù)值等于0分析變量x₁ 和x₂ 的取值情況，從而判斷命題的真假；
對于④，直接利用求復合函數(shù)單調性的方法加以判斷；
②的判斷稍微困難，分析得到[-，]為f（x）的第一個周期，利用周期性加以變形，得到2f（x₁）=2sin（2x₁+），然后利用sin（）=2sin（）cos（）＜sin（），結合單調性即可得到結論．
解答：解：對于①．令2x+=kπ，得到x=（k是整數(shù)），
由f（x₁）=f（x₂）=0，可得x₁-x₂必是的整數(shù)倍，故①錯誤；
對于②．f（x）=4sin（2x+），
求解得f（-）=0，f（）=1，周期T=π．
則[-，]為f（x）的第一個周期（此周期內f（x）單調增大于0）．
設x₁，x₂ 的取值區(qū)間為D，
2f（x₁）=2sin（2x₁+）
f（）=sin（）
由于cos（）在D中取值范圍為（0，1），得
sin（）=2sin（）cos（）＜sin（）
即sin（）＜sin（）
又，在D中f（x）性質如上述，由單調性有x₁＜x₂．故②正確；
對于③．令2x+=kπ，得到x=（k是整數(shù)），當k=0時，得到x=-，
所以函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（-，0）對稱．故③正確；
對于④．函數(shù)y=f （-x）=，
若求其增區(qū)間，只需讓在正弦函數(shù)的減區(qū)間內即可，故④不正確．
所以正確的命題的序號是②③．
故答案為②③．
點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了正弦型復合函數(shù)的性質，解答的關鍵是熟記課本基礎知識，是中檔題．