Question

在△ABC中，點(diǎn)B(－6，0)、C(0，8)，且sinB、sinA、sinC成等差數(shù)列．

(1)求證：頂點(diǎn)A在一個(gè)橢圓上運(yùn)動(dòng)．

(2)指出這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及焦距．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明：由題意得sinB＋sinC＝2sinA，由正弦定理，得sinB＝，sinC＝，sinA＝，所以有b＋c＝2a，即|AC|＋|AB|＝2|BC|(＞|BC|)，所以頂點(diǎn)A到定點(diǎn)B、C的距離的和是常數(shù)(大于|BC|)，頂點(diǎn)A在一個(gè)橢圓上運(yùn)動(dòng)． 　　(2)這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－6，0)、(0，8)，焦距是10． 　　解析：本題依據(jù)等差數(shù)列的定義以及結(jié)合正弦定理將已知轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的邊間的關(guān)系，再利用橢圓的定義將問(wèn)題解決．

提示：

有關(guān)證明或判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓這樣的問(wèn)題，可以緊緊圍繞著相應(yīng)的橢圓的定義，去探尋相應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)到某兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于一個(gè)常數(shù)，并且注意這個(gè)常數(shù)與這兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離的大小關(guān)系，從而確定．