如圖,P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn),P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O且PO=1,
(Ⅰ)證明PA⊥BF;
(Ⅱ)求面APB與面DPB所成二面角的大。

【答案】分析:(1)立體幾何中證明直線與直線垂直,通?捎萌咕定理:因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的射影為O,所以PO⊥平面ABF,所以AO為PA在平面ABF內(nèi)的射影;又因?yàn)镺為BF中點(diǎn),所以AO⊥BF,則PA⊥BF.
(2)解法一:
二面角的度量關(guān)鍵在于作出它的平面角,常用的方法就是三垂線定理.由PO⊥平面ABF可得:AD⊥平面PBF,過(guò)O在平面POB內(nèi)作OH⊥PB于H,連AH、DH,則AH⊥PB,DH⊥PB,所以∠AHD為所求二面角平面角.
解法二:
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,P(0,0,1),A(0,,0),B(,0,0),D(0,2,0),這種解法的好處就是:(1)解題過(guò)程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對(duì)位置的有關(guān)定理,因?yàn)檫@些可以用向量方法來(lái)解決.(2)即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出,因?yàn)橹恍璁媯(gè)草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可.
設(shè)平面PAB的法向量為,則,,設(shè)平面PDB的法向量為,則,,所以所求二面角的大小即為這兩個(gè)法向量的夾角的大。
解答:解:(Ⅰ)在正六邊形ABCDEF中,△ABF為等腰三角形,
∵P在平面ABC內(nèi)的射影為O,
∴PO⊥平面ABF,
∴AO為PA在平面ABF內(nèi)的射影;
∵O為BF中點(diǎn),∴AO⊥BF,
∴PA⊥BF.
(Ⅱ)解法一:
∵PO⊥平面ABF,
∴平面PBF⊥平面ABC;而O為BF中點(diǎn),ABCDEF是正六邊形,
∴A、O、D共線,且直線AD⊥BF,則AD⊥平面PBF;
又∵正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1,
,,
過(guò)O在平面POB內(nèi)作OH⊥PB于H,連AH、DH,則AH⊥PB,DH⊥PB,
所以∠AHD為所求二面角平面角.
在△AHO中,OH==
在△DHO中,;
=
(Ⅱ)解法二:
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,P(0,0,1),A(0,,0),B(,0,0),D(0,2,0),
,,
設(shè)平面PAB的法向量為,則,
,;
設(shè)平面PDB的法向量為,則,
,
=
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征,二面角和線面關(guān)系等基本知識(shí),同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力.
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精英家教網(wǎng)如圖,P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn),P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O且PO=1,
(Ⅰ)證明PA⊥BF;
(Ⅱ)求面APB與面DPB所成二面角的大。

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(06年安徽卷)(12分)

如圖,P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn),,P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O。

(Ⅰ)證明;

(Ⅱ)求面與面所成二面角的大小。

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如圖,P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn),PA=1,P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O.

(1)證明PABF;

(2)求面APB與面DPB所成二面角的大小.

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(Ⅰ)證明;

(Ⅱ)求面與面所成二面角的大小。

 

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