Question

1．已知函數(shù)f（x）=sin²x+2sinxcosx-cos²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)二倍角公式及輔助角公式化簡f（x），由此得到f（x）的最小值．
（Ⅱ）由x的范圍得到2x-$\frac{π}{4}$的范圍，由此得到f（x）的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin²x+2sinxcosx-cos²x．
∴f（x）=-cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=π．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，
2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]
∴f（x）∈[-1，$\sqrt{2}$]
∴當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值分別為$\sqrt{2}$和-1．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡，以及由x的范圍得到2x-$\frac{π}{4}$的范圍，進而得到f（x）的范圍．