Question

已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*），對于A的一個子集S：若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對S中的任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，則稱S具有性質(zhì)P。
（1）當n=10時，試判斷集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N*）是否具有性質(zhì)P？并說明理由； （2）若集合S具有性質(zhì)P，試判斷集合T={（2n+1）-x|x∈S}是否一定具有性質(zhì)P？并說明理由。

Answer 1

解：（1）當n=10時，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x>9}={10，11，12，…，19，20}不具有性質(zhì)P。
因為對任意不大于10的正整數(shù)m，都可以找到集合B中兩個元素b₁=10與b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立。 集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*）具有性質(zhì)P。
因為可取m=1＜10，對于該集合中任意一對元素c₁=3k₁-1，c₂=3k₂-1，k₁，k₂∈N*都有|c₁-c₂|=3|k₁-k₂|≠1。
（2）若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T={（2n+1）- x|x∈S）一定具有性質(zhì)P。
首先因為T={（2n+1）-x|x∈S}，
任取t=（2n+1）-x₀∈T，其中x₀∈S，
因為SA，所以x₀∈{1，2，3，…，2n}，
從而1≤（2n+1）-x₀≤2n，即t∈A，
所以TA由S具有性質(zhì)P，可知存在不大于n的正整數(shù)m，使得對S中的任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，
對上述取定的不大于n的正整數(shù)m，從集合T={（2n+1）-x|x∈S}中任取元素t₁= 2n+1-x₁，t₂=2n+1-x₂，
其中x₁，x₂∈S，都有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|；
因為x₁，x₂∈S，所以有|x₁-x₂|≠m，即
|t₁-t₂|≠m，
所以集合T={（2n+1）-x|x∈S}具有性質(zhì)P。