Question

用反證法證明：對(duì)于直線l：y=x+k，不存在這樣的實(shí)數(shù)k，是的l與雙曲線C：3x²-y²=1的交點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=-x對(duì)稱．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法

專題：證明題,反證法,推理和證明

分析：利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱滿足兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上；兩點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直列出方程組，將韋達(dá)定理代入得到k關(guān)系，得出矛盾，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=（x₁+x₂）+2k，y₁+y₂=-（x₁+x₂）
所以x₁+x₂=-k
由直線l：y=x+k代入3x²-y²=1，得2x²-2kx-k²-1=0，
所以x₁+x₂=k，與x₁+x₂=-k矛盾，
故不存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y=-x對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系常將它們的方程聯(lián)立，處理兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問題常借用兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上；兩點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直．