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13.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)過點M(1,32),且左焦點為F1(-1,0).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設橢圓C的左右頂點分別為A,B,P為橢圓C上一動點,直線PA,PB分別交直線x=a2于點D,E.
試探究D,E兩點縱坐標的乘積是否為定值?若是定值,求出該定值;若不是,說明理由.

分析 (1)利用橢圓的定義,求出a,根據(jù)左焦點為F1(-1,0),得出c,求出b,即可橢圓C的方程;
(2)由(1)可知A(-2,0),B(2,0),設P(x0,y0),則直線PA的方程為y=y0x0+2(x+2)①,直線PB的方程為y=y0x02(x-2)②.將x=2代入①②,可得yD=6y0x0+2,yE=2y0x02,即求出D,E兩點縱坐標的乘積是定值-9.

解答 解:(1)由橢圓的定義可得2a=1+12+322+32=4,
∴a=2,
∵c=1,∴b=3,
∴橢圓C的方程是x24+y23=1
(2)由(1)可知A(-2,0),B(2,0),
設P(x0,y0),則直線PA的方程為y=y0x0+2(x+2)①,直線PB的方程為y=y0x02(x-2)②.
將x=4代入①②,可得yD=6y0x0+2,yE=2y0x02
∴yD•yE=6y0x0+22y0x02=12y02x024,
∵P(x0,y0)在橢圓上,
y02=-34x02-4),
∴yD•yE=12y02x024=-9
∴D,E兩點縱坐標的乘積是定值-9.

點評 本題考查橢圓的定義與方程,考查D,E兩點縱坐標的乘積是定值,考查學生的計算能力,屬于中檔題.

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