Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點M（1，$\frac{3}{2}$），且左焦點為F₁（-1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左右頂點分別為A，B，P為橢圓C上一動點，直線PA，PB分別交直線x=a²于點D，E．
試探究D，E兩點縱坐標的乘積是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義，求出a，根據(jù)左焦點為F₁（-1，0），得出c，求出b，即可橢圓C的方程；
（2）由（1）可知A（-2，0），B（2，0），設P（x₀，y₀），則直線PA的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2）①，直線PB的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2）②．將x=2代入①②，可得y_D=$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，y_E=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，即求出D，E兩點縱坐標的乘積是定值-9．

解答 解：（1）由橢圓的定義可得2a=$\sqrt{（1+1）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$+$\frac{3}{2}$=4，
∴a=2，
∵c=1，∴b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）可知A（-2，0），B（2，0），
設P（x₀，y₀），則直線PA的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2）①，直線PB的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2）②．
將x=4代入①②，可得y_D=$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，y_E=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
∴y_D•y_E=$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$•$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{12{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，
∵P（x₀，y₀）在橢圓上，
∴${{y}_{0}}^{2}$=-$\frac{3}{4}$（${{x}_{0}}^{2}$-4），
∴y_D•y_E=$\frac{12{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=-9
∴D，E兩點縱坐標的乘積是定值-9．

點評 本題考查橢圓的定義與方程，考查D，E兩點縱坐標的乘積是定值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．