分析 (Ⅰ)由已知得an+1-2=12(an-2),a1-2=-1,由此能證明數(shù)列{an-2}是首項(xiàng)為-1,公比為12的等比數(shù)列,從而能求出an.
(Ⅱ)由bn=(2n-1)•(12)n−1,(n∈N*),利用錯位相減法能求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
解答 證明:(Ⅰ)∵數(shù)列{an}滿足,a1=1,an+1=12an+1(n∈N*),
∴an+1-2=12(an-2),a1-2=-1,
∴數(shù)列{an-2}是首項(xiàng)為-1,公比為12的等比數(shù)列,
∴an-2=-(12)n-1,
∴an=2-(12)n-1.
解:(Ⅱ)∵bn=(2n-1)•(2-an)=(2n-1)•(12)n−1,(n∈N*),
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和:
Tn=1+3•12+5•(12)2+7•(12)3+…+(2n-1)•(12)n−1,①
∴12Tn=12+3•(12)2+5•(12)3+7•(12)4+…+(2n-1)•(12)n,②
①-②,得:12Tn=1+(12)0+12+(12)2+…+(12)n-2-(2n-1)•(12)n
=1+1−(12)n−11−12-(2n-1)•(12)n
=3-(2n+3)×(12)n,
∴Tn=6-(4n+6)×(12)n.
點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的證明,考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意錯位相減法的合理運(yùn)用.
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A. | 18 | B. | 24 | C. | 36 | D. | 48 |
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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