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17.已知數(shù)列{an}滿足,a1=1,an+1=12an+1(n∈N*).
(I)求證:數(shù)列{an-2}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=(2n-1)•(2-an)(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (Ⅰ)由已知得an+1-2=12(an-2),a1-2=-1,由此能證明數(shù)列{an-2}是首項(xiàng)為-1,公比為12的等比數(shù)列,從而能求出an
(Ⅱ)由bn=(2n-1)12n1,(n∈N*),利用錯位相減法能求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

解答 證明:(Ⅰ)∵數(shù)列{an}滿足,a1=1,an+1=12an+1(n∈N*),
∴an+1-2=12(an-2),a1-2=-1,
∴數(shù)列{an-2}是首項(xiàng)為-1,公比為12的等比數(shù)列,
∴an-2=-(12n-1,
∴an=2-(12n-1
解:(Ⅱ)∵bn=(2n-1)•(2-an)=(2n-1)12n1,(n∈N*),
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和:
Tn=1+312+5•(122+7•(123+…+(2n-1)12n1,①
12Tn=12+3122+5123+7124+…+(2n-1)•(12n,②
①-②,得:12Tn=1+(120+12+(122+…+(12n-2-(2n-1)•(12n
=1+112n1112-(2n-1)•(12n
=3-(2n+3)×(12n,
∴Tn=6-(4n+6)×(12n

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的證明,考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意錯位相減法的合理運(yùn)用.

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