Question

已知x∈[0，1]，函數(shù)f(x)=x2-ln(x+

1

2

)，g（x）=x³-3a²x-4a．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（Ⅱ）設(shè)a≤-1，若?x₁∈[0，1]，總存在，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法步驟求解f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域．
（2）在a≤-1，x∈[0，1]的條件下，判斷g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求解g（x）的值域，依題意得f（x）的值域是g（x）值域的子集，列出關(guān)于a的不等式組，解出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f/(x)=2x-

1

x+ 1 2

令f'（x）=0
解得：x=

1

2

，x=-1（舍去）
列表：
可知f（x）的單調(diào)減區(qū)間是(0，

1

2

)，增區(qū)間是(

1

2

，1)；
因?yàn)?span id="tbv72jh" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

4

＜1-ln

3

2

=ln2-(ln3-1)＜ln2，
所以當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）的值域?yàn)?span id="mr2r2wx" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[

1

4

，ln2]
（Ⅱ）g′（x）=3（x²-a²）
因?yàn)閍≤-1，x∈（0，1）
所以g′（x）＜0，g（x）為[0，1]上的減函數(shù)，g（1）≤g（x）≤g（0）
所以g（x）∈[1-4a-3a²，-4a]
因?yàn)楫?dāng)x∈[0，1]時，f（x）的值域?yàn)?span id="d6ll2mo" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[

1

4

，ln2]
由題意知：[

1

4

，ln2]⊆[1-4a-3a2，-4a]
所以

1-4a-3a2≤ 1 4 -4a≥ln2

又a≤-1，得a≤-

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、值域等函數(shù)知識，對于（2）解答的關(guān)鍵是，f（x）的值域是g（x）的值域的子集，在學(xué)習(xí)中，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握這一方法，本題是一道好題，屬于教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)．