Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，a_n+2=（n≥1，n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{}是常數(shù)列；
（2）求證：當(dāng)n≥2時，2＜a_n²-a_n-1²≤3；
（3）求a₂₀₁₁的整數(shù)部分．

Answer 1

解：（1）易知，對一切n≥1，a_n≠0，由a_n+2=，得=．
依次利用上述關(guān)系式，可得
===…===1，
從而數(shù)列是常數(shù)列．（4分）
（2）由（1）得a_n+1=a_n+．
又a₁=1，∴可知數(shù)列{a_n}遞增，則對一切n≥1，有a_n≥1成立，從而0＜a_n²≤1．（6分）
當(dāng)n≥2時，a_n²=a_n-1²++2，
于是a_n²-a_n-1²=+2，
∴2＜a_n²-a_n-1²≤3．（8分）
（3）當(dāng)n≥2時，a_n²=a_n-1²++2，
∴a=1，a₂²=4，則當(dāng)n≥3時，
a_n²＞2n．
a₂₀₁₁²＞4 022＞3 969=63²，（10分）
a₂₀₁₁²=+…++2（2011-1）+1
=4 022+＜4 022+×33
=4 022+×33
＜4 022+（19+4+10）＜4 039＜4 096=64²．（14分）
∴63＜a₂₀₁₁＜64，即a₂₀₁₁的整數(shù)部分為63．（16分）
分析：（1）對 N^*）變形化簡得 ．將其迭代，利用a₁=1，a₂=2可以得到a_n+1與a_n之間的遞推關(guān)系式；
（2）由于數(shù)列遞增，所以對一切n≥1，有a_n≥1成立，從而 ．又當(dāng)n≥2時，，所以有 ，從而問題得證．
（3）當(dāng)n≥2時，，．
又當(dāng)n≥3時，有a_n²＞2n，從而 =，從而可解．
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合，技巧性強(qiáng)，難度大．