Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1、，且．
（Ⅰ） 求a₃、a₄，猜想a_n的表達式，并加以證明；
（Ⅱ） 設(shè)，求證：對任意的自然數(shù)n∈N^*，都有．

Answer 1

（Ⅰ） 解：（1）∵a₁=1、，且，
∴a₃==，=
故可以猜想，下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：
（i） 顯然當(dāng)n=1，2，3，4時，結(jié)論成立，
（ii） 假設(shè)當(dāng)n=k（k≥4），結(jié)論也成立，即
那么當(dāng)n=k+1時，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知：==
即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立，
綜上，成立．
（Ⅱ）證明：=
所以b₁+b₂+…+b_n==
所以只需要證明
只需證明
只需證明：3n+1＜3n+2+1
只需證明0＜2，顯然成立
所以對任意的自然數(shù)n∈N^*，都有．
分析：（Ⅰ） 利用數(shù)列遞推式，代入計算可得a₃、a₄，由此猜想a_n的表達式，再利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，證明n=k+1時，由題設(shè)與歸納假設(shè)，可得結(jié)論；
（Ⅱ）先對通項化簡，再用裂項法求和，進而利用分析法進行證明即可．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列通項的猜想與證明，考查數(shù)列的求和與分析法證明的運用，屬于中檔題．