Question

已知四棱錐的三視圖如下圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對(duì)角線的正方形.是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求證：；

(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；

(3) 若四點(diǎn)在同一球面上，求該球的體積.

 

Answer 1

【答案】

（1）參考解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）要證明，要轉(zhuǎn)到線面垂直，通過觀察需證明平面.所以要證明垂直于平面兩條相交直線，顯然，.從而可得結(jié)論.

（2）要求直線與平面所成角的正弦值，需要找到直線與平面所成的角.通過證明平面平面.即可得到點(diǎn)E到平面的投影在PO（O是AC與BD的交點(diǎn)）上.這樣就可以求出直線與平面所成的角，再通運(yùn)算即可求出結(jié)論.本小題也可已建立空間坐標(biāo)系來(lái)求.

（3）若四點(diǎn)在同一球面上，求該球的體積.依題意可得.只要把圖形補(bǔ)齊為一個(gè)長(zhǎng)方體.外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).即可求結(jié)論.

試題解析：（1）證明：由已知

,

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041704305057815809/SYS201404170431377500443279_DA.files/image016.png">，

(2)解法一：連AC交BD于點(diǎn)O，連PO，由(1)知

則，為與平面所成的角.

,則

法二：空間直角坐標(biāo)法，略.

(3)解：以正方形為底面，為高補(bǔ)成長(zhǎng)方體，此時(shí)對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑，

,.

考點(diǎn)：1.線線垂直.2.線面所成的角.3.割補(bǔ)思想.