Question

如圖所示，已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上，點(diǎn)N在線段CM上，且滿足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足

FG

=λ

FH

，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)推出 NC+NM=r=2

2

＞AC，再利用橢圓的定義知，點(diǎn)N的軌跡是以A、C 為焦點(diǎn)的橢圓，利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程
（2）不妨設(shè)FH斜率為k，且將原點(diǎn)移至F，則直線FH方程為y=kx，則橢圓方程變?yōu)?span id="fxekhx7" class="MathJye">

x2

2

+（y-2）²=1，將直線與橢圓方程聯(lián)立得（1+2k²）x²-8kx+6=0，結(jié)合題設(shè)條件求參數(shù)λ的范圍

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），
∵

AM

=2

AP

，∴點(diǎn)P為AM的中點(diǎn)，
∵

NP

•

AM

=0，∴NP⊥AM，∴NP是線段AM的垂直平分線，∴NM=NA，
又點(diǎn)N在CM上，設(shè)圓的半徑是 r，則 r=2

2

，
∴NC=r-NM，∴NC+NM=r=2

2

＞AC，
∴點(diǎn)N的軌跡是以A、C 為焦點(diǎn)的橢圓，
∴2a=2

2

，c=1，可求得b=1，
∴橢圓

x2

2

+y2=1，即曲線E的方程：

x2

2

+y2=1．
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線與曲線E有2個(gè)交點(diǎn)此時(shí)參數(shù)的值為λ=

1

3

，
不妨設(shè)FH斜率為k，且將原點(diǎn)移至F，
則直線FH方程為y=kx，橢圓方程變?yōu)?span id="x1tvzk2" class="MathJye">

x2

2

+（y-2）²=1，
將直線方程代入橢圓得

x2

2

+（kx-2）²=1，整理得（1+2k²）x²-8kx+6=0，
直線與曲線E有二不同的交點(diǎn)，故△=（-8k）²-4•6（1+2k²）=16k²-24＞0，即k²＞

3

2

，
因?yàn)樽笥覍?duì)稱，可以研究單側(cè)，
當(dāng)k＞0時(shí)，λ=

x1

x2

=

-b- b2-4ac

-b+ b2-4ac

即λ=

8k- 16k2-24

8k+ 16k2-24

=

2- 1- 3 2k2

2+ 1- 3 2k2

由k²＞

3

2

，即0＜

3

2k2

＜1，即0＜

1- 3 2k2 ?

＜1，
令t=

1- 3 2k2 ?

∈（0，1），則λ=

2-t

2+t

，t∈（0，1），
由于λ=

2-t

2+t

=

4

2+t

-1，故函數(shù)在t∈（0，1）上是減函數(shù)，故

1

3

＜λ＜1
綜上，參數(shù)的取值范圍是

1

3

≤λ＜1

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐曲線的定義，由題設(shè)條件判斷出所求的軌跡是橢圓，以及能將求兩線段比值的問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)比值，以利于用直線與圓錐曲線的方程研究參數(shù)的取值范圍，本題解題過程中把曲線中心移到點(diǎn)（0，2），重新建系，使得橢圓方程得以簡化且給后續(xù)解題帶來了極大的方便，使問題轉(zhuǎn)化為在k＞0上求參數(shù)的范圍，解題時(shí)要注意此類技巧的使用．本題綜合性強(qiáng)運(yùn)算較繁雜，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真．