Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，記點(diǎn)的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)在曲線上，軸上一點(diǎn)（在點(diǎn)右側(cè)）滿足，若平行于的直線與曲線相切于點(diǎn)，試判斷直線是否過點(diǎn)？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）直線過點(diǎn)，理由見解析

【解析】

(1)由拋物線的定義求出的方程；

(2)根據(jù)拋物線的定義表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)寫出直線的斜率，進(jìn)而得到直線的方程，將直線與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合判別式得出，進(jìn)而得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出直線的斜率，討論和，得出直線的方程，即可判斷直線是否過點(diǎn).

解：（1）根據(jù)拋物線的定義得，動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線的拋物線.

（2）由題設(shè)，則，

又，故

由于，則直線不與軸垂直

令平行于的直線，則，

將直線代入，得，

整理……①

，

當(dāng)時(shí)，直線AB為軸，此時(shí)不存在平行于的直線與曲線相切于點(diǎn)

即

所以①可以化為

，，

當(dāng)時(shí)

，

，過定點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，也過點(diǎn)，故直線過點(diǎn)