Question

（2012•黃山模擬）用兩點(diǎn)等分單位圓時(shí)，有相應(yīng)正確關(guān)系為sinα+sin（π+α）=0；三點(diǎn)等分單位圓時(shí)，有相應(yīng)正確關(guān)系為sinα+sin(α+

2π

3

)+sin(α+

4π

3

)=0，由此可以推知：四點(diǎn)等分單位圓時(shí)的相應(yīng)正確關(guān)系為

sinα+sin(α+

π

2

)+sin(α+π)+sin(α+

3π

2

)=0

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，分析可得用兩點(diǎn)等分單位圓時(shí)，關(guān)系式為兩個(gè)角的正弦值之和為0，且第二個(gè)角與第一個(gè)角的差為圓周的

1

2

，用三點(diǎn)等分單位圓時(shí)，關(guān)系式為三個(gè)角的正弦值之和為0，且第二個(gè)角與第一個(gè)角的差與第三個(gè)角與第二個(gè)角的差相等，均為圓周的

1

3

，類推四點(diǎn)等分單位圓時(shí)，應(yīng)該為四個(gè)角的正弦值之和為0，后一個(gè)角與前一個(gè)角的差為圓周的

1

4

，即可得答案．

解答：解：用兩點(diǎn)等分單位圓時(shí)，關(guān)系為sinα+sin（π+α）=0，兩個(gè)角的正弦值之和為0，且第一個(gè)角為α，第二個(gè)角與第一個(gè)角的差為：（π+α）-α=

2π

2

=π，
用三點(diǎn)等分單位圓時(shí)，關(guān)系為sinα+sin(α+

2π

3

)+sin(α+

4π

3

)=0，此時(shí)三個(gè)角的正弦值之和為0，且第一個(gè)角為α，第二個(gè)角與第一個(gè)角的差與第三個(gè)角與第二個(gè)角的差相等，均為有（α+

4π

3

）-（α+

2π

3

）=（α+

2π

3

）-α=

2π

3

．
依此類推，可得當(dāng)四點(diǎn)等分單位圓時(shí)，為四個(gè)角正弦值之和為0，且第一個(gè)角為α，第二個(gè)角為

2π

4

+α=

π

2

+α，第三個(gè)角

π

2

+α+

2π

4

=π+α，第四個(gè)角為π+α+

2π

4

=

3π

2

+α，即其關(guān)系為sinα+sin(α+

π

2

)+sin(α+π)+sin(α+

3π

2

)=0；
故答案為sinα+sin(α+

π

2

)+sin(α+π)+sin(α+

3π

2

)=0．

點(diǎn)評：本題考查歸納推理，解題的關(guān)鍵在于分析兩點(diǎn)等分單位圓與三點(diǎn)等分單位圓的正弦值的個(gè)數(shù)，角的關(guān)系，得到關(guān)系式變化的規(guī)律，注意驗(yàn)證得到的結(jié)論是否正確．