Question

設函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）的圖象關(guān)于原點對稱，且x=1時，f（x）取極小值．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x₁，x₂∈[-1，1]時，求證：．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）圖象關(guān)于原點對稱，∴對任意實數(shù)x，都有f（-x）=-f（x）．
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，即bx²-2d=0恒成立．
∴b=0，d=0，即f（x）=ax³+cx．∴f′（x）=3ax²+c．
∵x=1時，f（x）取極小值-．∴f′（1）=0且f（1）=-，
即3a+c=0且a+c=-．解得a=，c=-1．（6分）
（2）證明：∵f′（x）=x²-1，由f′（x）=0，得x=±1．
當x∈（-∞，-1）或（1，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（-1，1）時，f′（x）＜0．
∴f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，且f_max（x）=f（-1）=，f_min（x）=f（1）=-．
∴在[-1，1]上，|f（x）|≤．
于是x₁，x₂∈[-1，1]時，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=+=．
故x₁，x₂∈[-1，1]時，|f（x₁）-f（x₂）|≤．（12分）
分析：（1）根據(jù)奇偶性判斷b、d的值，再有在1處的極值求出a、c．
（2）函數(shù)在1和-1處取代極值，判斷其為最值，根據(jù)兩最值之差最大，證明問題．
點評：該題考查函數(shù)奇偶性對應的奇數(shù)次項系數(shù)的值以及偶數(shù)次項系數(shù)的值，考查反正發(fā)的使用，考查兩數(shù)之間最值之差最大，為中等題，