Question

閱讀下列文字，然后回答問題：
對于任意實數(shù)x，符號[x]表示x的整數(shù)部分，即[x]是不超過x的最大整數(shù)”．在實數(shù)軸R（箭頭向右）上[x]是在點x左側(cè)的第一個整數(shù)點，當x是整數(shù)時，[x]就是x．這個函數(shù)[x]叫做“取整函數(shù)”，也叫做高斯（Gauss）函數(shù)，它在數(shù)學本身和生產(chǎn)實踐中有廣泛的應用．例如當您在學習和使用計算器時，在用到的算法語言中，就有這種取整函數(shù)．
試求[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的和．

Answer 1

解：根據(jù)題意，得
∵log₂1=0，∴[log₂1]=0
又∵log₂2、log₂3∈[1，2），∴[log₂2]+[log₂3]=1
∵log₂4、log₂5、…、log₂7∈[2，3），∴[log₂4]=[log₂5]=…=[log₂7]=2
依此類推，得[log₂8]=[log₂9]=…=[log₂15]=3；[log₂16]=[log₂17]=…=[log₂31]=4；
[log₂32]=[log₂33]=…=[log₂63]=5；[log₂64]=[log₂65]=…=[log₂127]=6；
[log₂128]=[log₂129]=…=[log₂255]=7；[log₂256]=[log₂257]=…=[log₂511]=8；
[log₂512]=[log₂513]=…=[log₂1023]=9
結(jié)合[log₂1024]=[10]=10，可得
[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]
=0+2×1+2²×2+2³×3+2⁴×4+2⁵×5+2⁶×6+2⁷×7+2⁸×8+2⁹×9+10
=9×2¹⁰-（2+2²+2³+…+2⁹）+10=8204．
分析：根據(jù)對數(shù)的運算法則，可得當正整數(shù)x和k滿足2^k≤x≤2^k+1-1時，[log₂x]=k．依此規(guī)律，可得原式由1個0，2個1，2²個2，…，2⁹個9和1個10組成，再用等比數(shù)列求和公式和錯位相減法，即可算出原式的值．
點評：本題給出高斯函數(shù)，求[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的值，著重考查了對數(shù)的運算性質(zhì)、取整函數(shù)的概念和數(shù)列的求和等知識，屬于中檔題．