Question

在O為坐標原點的直角坐標系中，點A（4，-3）為△OAB的直角頂點．已知|

AB

|=2|

OA

|且點B的縱坐標大于零．
（1）求圓x²-6x+y²+2y=0關于直線OB對稱的圓的方程；
（2）設直線l平行于直線AB且過點（0，a），問是否存在實數a，使得橢圓

x2

16

+y2=1上有兩個不同的點關于直線l對稱，若不存在，請說明理由；若存在，請求出實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用條件求點B的坐標以及直線OB的方程，再利用關于直線對稱的圓的方程的求法即可求出圓x²-6x+y²+2y=0關于直線OB對稱的圓的方程；
（2）先求出直線l的方程以及關于直線l對稱的兩點的坐標和直線l的方程之間的關系，再利用判別式的范圍來求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）設點B為（x，y），因為點A（4，-3）為△OAB的直角頂點和|

AB

|=2|

OA

|．
所以OA⊥AB且|OB|=

5

|OA|?

4(x-4)-3(y+3)=0 x2+y2=125

?

x=10 y=5

（因點B的縱坐標大于零另一組舍去）
所以直線OB的方程為y=

1

2

x．
又圓x²-6x+y²+2y=0?（x-3）²+（y+1）²=10．
圓心（3，-1）關于直線OB的對稱點為（1，3）．
所以圓x²-6x+y²+2y=0關于直線OB對稱的圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=10．
（2）因為k_AB=

4

3

，所以直線l的方程為y=

4

3

x+a．
則橢圓

x2

16

+y2=1上關于直線l對稱的兩個不同的點M（m，n），N（b，c）在直線y=-

3

4

x+d上，
由

y=- 3 4 x+d x2 16 +y2=1

?

5

8

x2-

3

2

xd+d²-1=0．△=(-

3

2

d)2-4×

5

8

×(d2-1)＞0?d²＜10①．
且m+b=

12

5

d，所以c+n=-

3

4

（m+b）+2d=

1

5

d，
所以M，N的中點為（

6

5

d，

1

10

d）在y=

4

3

x+a上．
解得d=-

2

3

a代入①?-

3

2

10

＜a＜

3

2

10

．
故存在滿足題意的實數a，其取值范圍為a∈(-

3

2

10

，

3

2

10

)．

點評：在圓錐曲線的綜合大題中，主要考查解析幾何的有關知識，以及分析問題與解決問題的能力．值得引起重視的一個現象是，經常出現一條或幾條直線與兩種圓錐曲線（包括圓）的位置關系問題，同時要注意其與平面幾何、平面向量以及導數的知識的綜合命題．